Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.
Passo 1
A ideia aqui é estimar o centroide dessa placa pensando na simetria dela e depois usar nossa fórmulinha para confirmar:
Passo 2
Nossa placa é um círculo. Ele é simétrico tanto vertical quanto horizontalmente. Isso significa que o centroide vai ser bem no centro dele.
Como o centro está na origem:
Passo 3
Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada :
No eixo nossa região está entre e , e no eixo , nossa região está entre (parte de cima da circunferência) e (parte de baixo).
Como é um círculo de raio , a área é .
Nossa integral fica:
Usando a substituição simples , dá para resolver a integral e:
Passo 4
Agora a coordenada :
Viu? Deu igualzinho!