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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 6

Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.

Passo 1

A ideia aqui é estimar o centroide dessa placa pensando na simetria dela e depois usar nossa fórmulinha para confirmar:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Nossa placa é um círculo. Ele é simétrico tanto vertical quanto horizontalmente. Isso significa que o centroide vai ser bem no centro dele.

Como o centro está na origem:

x - , y - = 0,0

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo x nossa região está entre - 1 e 1 , e no eixo y , nossa região está entre y = f x = 1 - x 2   (parte de cima da circunferência) e y = g x = - 1 - x 2 (parte de baixo).

Como é um círculo de raio 1 , a área é π .

Nossa integral fica:

x - = 1 π   ∫ - 1 1 x 1 - x 2 - - 1 - x 2 d x = 1 π ∫ - 1 1 x 2 1 - x 2 d x

Usando a substituição simples u = 1 - x 2 , dá para resolver a integral e:

x - = 0

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 1 π ∫ - 1 1 1 2 1 - x 2 2 - - 1 - x 2 2 d x = 0

Viu? Deu igualzinho!

Resposta

x - , y - = 0,0

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