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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 11

Encontre o centroide da região.

O triângulo de vértices ( 0,0 ) , ( 2,0 ) e ( 0,1 ) .

Passo 1

Temos esse carinha aqui:

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em x :

0 < x < 2

Agora, precisamos achar a reta que passa por ( 2,0 ) e ( 0,1 ) . Ela tem essa cara:

y = m x + b

0,1 ∴ 1 = b

2,0 ∴ 0 = 2 m + 1 ∴ m = - 1 2

y = - x 2 + 1

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo x nossa região está entre 0 e 2 , e no eixo y , nossa região está entre y = f x = - x 2 + 1   (por cima) e y = g x = 0 (por baixo).

Como temos um triângulo de altura 1 e base 2 :

á r e a   d e   R = 1 ⋅ 2 2 = 1

Nossa integral fica:

x - = 1   ∫ 0 2 x - x 2 + 1 - 0 d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = 2 3

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = ∫ 0 2 1 2 - x 2 + 1 2 - 0 2 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 1 3

Resposta

x - , y - = 2 3 , 1 3

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