42. Defina a função em função por

Use a definição 5.5.1 para mostrar que

Para fazermos a soma de Riemann temos que selecionar alguns valores de e calcular a soma de Riemann!

Faremos uma primeira soma de Riemann escolhendo valores de que não incluem o e para qualquer valor que não inclua o , temos . Substituindo na soma de Riemann, temos:

Esse é o somatório de todos os subintervalos entre , então esse valor é igual ao comprimento do intervalo.

Portanto a Soma de Riemann é:

Agora faremos considerando e outros valores no intervalo . Para o valor , nós temos a função , então nós teremos a soma do somatório que resta, excluindo o zero, mais o valor de , que é igual a zero.

Teremos algo assim:

Que vai dar um somatório igual ao do passo 2. Dá uma olhada aqui embaixo:

E já calculamos esse somatório lá no passo 2, é igual a:

Portanto o valor independe do valor que escolhemos, então a soma de Riemann é:

Utilizando a definição 5.5.1, temos: