Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 42
42. Defina a função em função por
Use a definição 5.5.1 para mostrar que
Passo 1
Temos que fazer a soma de Riemann e utilizar a definição 5.5.1 que diz:
Essa definição diz que a soma de Riemann de uma função contínua é igual a integral definida dessa função!
Passo 2
Para fazermos a soma de Riemann temos que selecionar alguns valores de e calcular a soma de Riemann!
Faremos uma primeira soma de Riemann escolhendo valores de que não incluem o e para qualquer valor que não inclua o , temos . Substituindo na soma de Riemann, temos:
Esse é o somatório de todos os subintervalos entre , então esse valor é igual ao comprimento do intervalo.
Portanto a Soma de Riemann é:
Passo 3
Agora faremos considerando e outros valores no intervalo . Para o valor , nós temos a função , então nós teremos a soma do somatório que resta, excluindo o zero, mais o valor de , que é igual a zero.
Teremos algo assim:
Que vai dar um somatório igual ao do passo 2. Dá uma olhada aqui embaixo:
E já calculamos esse somatório lá no passo 2, é igual a:
Portanto o valor independe do valor que escolhemos, então a soma de Riemann é:
Utilizando a definição 5.5.1, temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)