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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 27

No Exercício ∫ x 2 - x + 2 x 3 - 1   d x , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a fração:

x 2 - x + 2 x 3 - 1 = x 2 - x + 2 x - 1 ( x 2 + x + 1 )

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

x 2 - x + 2 x - 1 ( x 2 + x + 1 ) = A x - 1 + B x + C x 2 + x + 1

x 2 - x + 2 = A ( x 2 + x + 1 ) + B x + C x - 1

x 2 - x + 2 = A x 2 + A x + A + B x 2 - B x + C x - C

x 2 - x + 2 = ( A + B ) x 2 + ( A - B + C ) x + ( A - C )

Analizando a equação, igualamos os valores nos parenteses aos coeficientes do outro lado da equação:

A + B = 1

A - B + C = - 1

A - C = 2

Somando todas as equações encontraremos o valor de “A”:

A + B = 1 A - B + C = - 1 A - C = 2

A + B + A - B + C + A - C = 1 + ( - 1 ) + 2

3 A = 2

A = 2 3

Descoberto o valor de “A” substituimos na primeira equação:

A + B = 1

2 3 + B = 1

B = 1 - 2 3

B = 1 3

Substituimos o valor de “A” também na terceira equação

A - C = 2

2 3 - C = 2

- C = 2 - 2 3

C = 4 3

Substituimos agora no lugar das constantes:

x 2 - x + 2 x - 1 ( x 2 + x + 1 ) = A x - 1 + B x + C x 2 + x + 1

= 2 3 x - 1 + 1 3 x + 4 3 x 2 + x + 1

= 2 3 . 1 x - 1 + 1 3 . x + 4 x 2 + x + 1

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ x 2 - x + 2 x 3 - 1   d x   = ∫ 2 3 . 1 x - 1   d x + ∫ 1 3 . x + 4 x 2 + x + 1   d x

= 2 3 ∫ 1 x - 1   d x + 1 3 ∫ x + 4 x 2 + x + 1   d x

= 2 3 ∫ 1 x - 1   d x + 1 3 ∫ x x 2 + x + 1   d x + ∫ 4 x 2 + x + 1   d x

= 2 3 ∫ 1 x - 1   d x + 1 3 ∫ x x 2 + x + 1   d x + 4 ∫ 1 x 2 + x + 1   d x

= 2 3 l n   x   - 1 + 1 6 . l n x 2 + x + 1 - 3   . t g - 1 2 x + 1 3 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ x 2 - x + 2 x 3 - 1   d x = 2 3 l n   x   - 1 + 1 6 . l n x 2 + x + 1 - 3   . t g - 1 2 x + 1 3 + c

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