Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 41

Prove int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x , s e n for um inteiro positivo maior do que 1.

Passo 1

Para provar que int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x vamos aplicar a diferenciação nos dos dois lados da igualdade e aplicar as devidas propriedades de diferenciação para chegarmos numa igualdade verdadeira.

(d)/(d x) (int tan^n x d x) = (d)/(d x) ((tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x)

tan^n x = ((n - 1) tan^(n - 1 - 1) x)/((n - 1)) * (d)/(d x) (tan x) - tan^(n - 2) x

tan^n x = tan^(n - 2) x * sec^2 x - tan^(n - 2) x

Passo 2

Aplicando a Identidade Trigonométrica e colocando em tan^(n - 2) x temos

tan^n x = tan^(n - 2) x * sec^2 x - tan^(n - 2) x

tan^n x = tan^(n - 2) x * (sec^2 x - 1)

(sin^2 x + cos^2 x = 1) * (1)/(cos^2 x)

tan^2 x + 1 = sec^2 x

tan^n x = tan^(n - 2) x * (tan^2 x)

tan^n x = tan^n x

Resposta

int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x é verdadeiro, pois quando aplicamos a diferenciação em ambos os lados temos uma igualdade verdadeira que confirma essa expressão.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x
Calcule a integral. ∫ cos ⁡ x cos 3 ⁡ sen ⁡ xd x
Calcule int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x Por substituição trigonométrica
Use substituição trigonométrica pra mostrar que ∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ x + x 2 + a 2 + C
Calcule a integralint (s e n 2 x)/(1 + cos^4 x) d x