Prove ∫ tan n ⁡ x d x = tan n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tan n - 2 ⁡ x d x ,   s e   n for um inteiro positivo maior do que 1.

Passo 1

Para provar que ∫ tan n ⁡ x d x = tan n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tan n - 2 ⁡ x d x vamos aplicar a diferenciação nos dos dois lados da igualdade e aplicar as devidas propriedades de diferenciação para chegarmos numa igualdade verdadeira.

d d x ∫ tan n ⁡ x d x = d d x tan n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tan n - 2 ⁡ x d x

tan n ⁡ x = n - 1 tan n - 1 - 1 ⁡ x n - 1 ∙ d d x tan ⁡ x - tan n - 2 ⁡ x

tan n ⁡ x = tan n - 2 ⁡ x ∙ sec 2 ⁡ x - tan n - 2 ⁡ x

Passo 2

Aplicando a Identidade Trigonométrica e colocando em tan n - 2 ⁡ x temos

tan n ⁡ x = tan n - 2 ⁡ x ∙ sec 2 ⁡ x - tan n - 2 ⁡ x

tan n ⁡ x = tan n - 2 ⁡ x ∙ sec 2 ⁡ x - 1

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 ∙ 1 cos 2 ⁡ x

tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

tan n ⁡ x = tan n - 2 ⁡ x ∙ tan 2 ⁡ x

tan n ⁡ x = tan n ⁡ x

Resposta

∫ tan n ⁡ x d x = tan n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tan n - 2 ⁡ x d x é verdadeiro, pois quando aplicamos a diferenciação em ambos os lados temos uma igualdade verdadeira que confirma essa expressão.

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