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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 41

Prove int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x , s e n for um inteiro positivo maior do que 1.

Passo 1

Para provar que int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x vamos aplicar a diferenciação nos dos dois lados da igualdade e aplicar as devidas propriedades de diferenciação para chegarmos numa igualdade verdadeira.

(d)/(d x) (int tan^n x d x) = (d)/(d x) ((tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x)

tan^n x = ((n - 1) tan^(n - 1 - 1) x)/((n - 1)) * (d)/(d x) (tan x) - tan^(n - 2) x

tan^n x = tan^(n - 2) x * sec^2 x - tan^(n - 2) x

Passo 2

Aplicando a Identidade Trigonométrica e colocando em tan^(n - 2) x temos

tan^n x = tan^(n - 2) x * sec^2 x - tan^(n - 2) x

tan^n x = tan^(n - 2) x * (sec^2 x - 1)

(sin^2 x + cos^2 x = 1) * (1)/(cos^2 x)

tan^2 x + 1 = sec^2 x

tan^n x = tan^(n - 2) x * (tan^2 x)

tan^n x = tan^n x

Resposta

int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x é verdadeiro, pois quando aplicamos a diferenciação em ambos os lados temos uma igualdade verdadeira que confirma essa expressão.

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