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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1c

1. Calcule

c ) int x^2 e^x d x

Passo 1

Faremos uso da regra de integração por partes dada por int u d v = u v - int v d u . Além disso, podemos fazer uso da regrinha LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial) para saber quem será o u , o qual vai ser escolhido nessa ordem. No nosso caso, o u será a algébrica. Logo, faremos

u = x^2 ⟹ d u = 2 x d x

d v = e^x d x ⟹ v = e^x

Passo 2

Substituindo na regra da integração por partes

int u d v = u v - int v d u

int x^2 e^x d x = x^2 e^x - int e^x 2 x d x = x^2 e^x - 2 int x e^x d x

Passo 3

Podemos ver que será necessário fazer integração por partes novamente. Novamente, pela regrinha LIATE, o u será a função algébrica.

2 int x e^x d x = 2 (x e^x - int e^x d x) = 2 (x e^x - e^x) + k = 2 x e^x - 2 e^x + k

Passo 4

Substituindo o valor que calculamos na segunda integração por partes, temos

int x^2 e^x d x = x^2 e^x - (2 x e^x - 2 e^x) + k = x^2 e^x - 2 x e^x + 2 e^x + k = e^x (x^2 - 2 x + 2) + k

Resposta

Logo,

int x^2 e^x d x = e^x (x^2 - 2 x + 2) + k

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