Calcule

n )   ∫ x 3 e x 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição tal que:

w = x 2 → d w = 2 x d x

1 2 ∫ w e w d w

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u w   e   v w podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para esse caso é mais fácil fazer u = w → d u = d w   e   v = e w → d v = e w d w

Assim:

1 2 ∫ w e w d w = 1 2 w e w - ∫ e w d w

Passo 2

Agora vamos integrar:

1 2 ∫ w e w d w = 1 2 w e w - ∫ e w d w = 1 2 w e w - e w

Voltando pra variável x :

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 ∫ w e w d w = 1 2 w e w - e w = 1 2 x 2 e x 2 - e x 2 = 1 2 e x 2 x 2 - 1

Não esquecendo da constande:

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 e x 2 x 2 - 1 + k

Resposta

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 e x 2 x 2 - 1 + k

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