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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 6

Avalie a integral.

int t cos^5 ( t ² ) d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos usar uma substituição:

t ² = v

(d v)/(2 t) = d t

Substituindo:

int t cos^5 (v) (d v)/(2 t)

int cos^5 (v) (d v)/(2)

Passo 2

Depois, precisamos separar a função cosseno. Fica assim:

int cos^5 (v) (d v)/(2) = (1)/(2) int ( cos^2 v ) ² cos v d v

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

cos ² x = 1 - sin^2 x

Substituindo na nossa integral:

(1)/(2) int ( 1 - sin^2 v ) ² cos v d v

Passo 3

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = sin v

d u = cos v d v

d v = (d u)/(cos v)

Substituindo u e d u // d x , temos:

int (1 - u^2) ² cos v ((d u)/(cos v))

int (1 - u^2) ² d u

int 1 - 2 u^2 + u^4 d u

Passo 4

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

int 1 - 2 u^2 + u^4 d u

Pela regra da adição:

(1)/(2) [int 1 d u - int 2 u^2 d u + int u^4 d u]

= (1)/(2) (u - (2 u^3)/(3) + (u^5)/(5) + C)

Substituindo u e depois v :

(1)/(2) sin t ² - (1)/(3) sin t^2 + (1)/(1 0) si n^5 ( t ² ) + C

Resposta

(1)/(2) sin t ² - (1)/(3) sin t^2 + (1)/(10) si n^5 ( t ² ) + C

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