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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 37

Calcula a integral

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot^5 varphi c o s s e c^3 varphi d varphi

Passo 1

Vamos reescrever a nossa integral para vê se da uma melhorada nas ideias,

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot^5 varphi c o s s e c^3 varphi d varphi = int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot^4 varphi c o s s e c^2 varphi c o s s s e c varphi c o t g varphi d varphi

Usando a identidade c o t g varphi = c o s s e c^2 varphi - 1

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (c o s s e c^2 varphi - 1)^2 c o s s e c^2 varphi c o s s e c varphi cot varphi d varphi

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis,

u = c o s s e c varphi , d u = - c o s s e c varphi cot varphi d varphi

Daí,

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (c o s s e c^2 varphi - 1)^2 c o s s e c^2 varphi c o s s e c varphi cot varphi d varphi = int_(sqrt(2))^1 (u^2 - 1)^2 u^2 (- d u)

Pela tabela,

= int_1^(sqrt(2)) (u^6 - 2 u^4 + u^2) d u = [(1)/(u) u^7 - (2)/(5) u^5 + (1)/(3) u^3]_1^(sqrt(2)) = ((8)/(7) sqrt(2) - (8)/(5) sqrt(2) + (2)/(3) sqrt(2)) - ((1)/(7) - (2)/(5) + (1)/(3)) = (22)/(105) sqrt(2) - (8)/(105)

Resposta

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) cot^5 varphi c o s s e c^3 varphi d varphi = (22)/(105) sqrt(2) - (8)/(105)

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