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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 49

Calcula a integral

int x t g^2 x d x

Passo 1

Vamos reescrever a nossa integral , usando a identidade t g^2 x = sec^2 x - 1

int x t g^2 x d x = int x (sec^2 x - 1) d x

Melhorando as contas,

int x (sec^2 x - 1) d x = int x sec^2 x d x - int x d x

Vamos resolver int x sec^2 x d x , por partes, u = x d u = d x e d v = sec^2 x d x v = t g x

int x sec^2 x d x = x t g x - int t g x d x = x t g x - ln |sec x|

Substituindo na integral inicial ,

int x sec^2 x d x - int x d x = x t g x - ln |sec x| - (1)/(2) x^2 + C

Resposta

int x t g^2 x d x = x t g x - ln |sec x| - (1)/(2) x^2 + C

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