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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 12

Calcula a integral

int_0^((pi)/(2)) (2 - s e n theta)^2 d theta

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil, né? Mas não é, pois, estarei aqui para te ajudar, amigo.

A gente tem um quadrado da diferença na integral, então vamos abrir as contas, ou seja,

(2 - s e n theta)^2 = [4 - 4 s e n theta + s e n^2 theta]

Então, substituindo na integral,

int_0^((pi)/(2)) (2 - s e n theta)^2 d theta = int_0^((pi)/(2)) [4 - 4 s e n theta + s e n^2 theta] d theta

Usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função, iremos realizar uma integral de cada vez:

int_0^((pi)/(2)) [ 4 - 4 s e n theta + s e n^2 theta ] d theta = int_0^((pi)/(2)) 4 d theta - 4 int_0^((pi)/(2)) s e n theta d theta + int_0^((pi)/(2)) s e n^2 theta d theta

Passo 2

Vamos resolver a última integral da igualdade anterior e depois substituir na conta, pois ela é quase uma questão (sério, é quase a questão 8). E as demais integrais são mais tranquilinhas, né...

Então bora começar por ela, pela int_0^((pi)/(2)) s e n^2 theta d theta

Usando a identidade trigonométrica s e n^2 a = (1)/(2) ( 1 - cos 2 a ) , temos que :

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 theta d theta = int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (2 theta))/(2) d theta

Usando as regras de integrais,

int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (2 theta))/(2) d theta =

int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (2 theta))/(2) d theta = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) d theta - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos (2 theta) d theta = (theta)/(2) (​|_0^((pi)/(2)) - (1)/(4) s e n (2 theta) (​|_0^((pi)/(2)) = (pi)/(4)

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) d theta - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos (2 theta) d theta =

(theta)/(2) (​|_0^((pi)/(2)) - (1)/(4) s e n (2 theta) (​|_0^((pi)/(2)) = (pi)/(4)

Se liga que o s e n (0) e s e n (pi) valem 0 , por isso na hora de substituir ali em cima, ficamos apenas com (pi)/(4) ...

Passo 3

Vamos substituir na nossa integral inicial,

int_0^((pi)/(2)) 4 d theta - 4 int_0^((pi)/(2)) s e n theta d theta + int_0^((pi)/(2)) s e n^2 theta d theta = int_0^((pi)/(2)) 4 d theta - 4 int_0^((pi)/(2)) s e n theta d theta + (pi)/(4)

Encontrando as primitivas das outras integrais,

int_0^((pi)/(2)) 4 d theta - 4 int_0^((pi)/(2)) s e n theta d theta + (pi)/(4) = 4 theta (​|_0^((pi)/(2)) + 4 cos theta (​|_0^((pi)/(2)) + (pi)/(4)

Aplicando os limites de integração,

4 theta (​|_0^((pi)/(2)) + 4 cos theta (​|_0^((pi)/(2)) + (pi)/(4) = 2 pi + 4 * (0 - 1) + (pi)/(4) = (9 pi)/(4) - 4

Prontinho!

Resposta

int_0^((pi)/(2)) (2 - s e n theta)^2 d theta = (9 pi)/(4) - 4

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