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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 3

Calcule a integral

int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta cos^5 theta d theta

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta cos^5 theta d theta

Mas antes, devemos reescrever a nossa integral para ver se dá uma melhorada nas ideias, em casos de integração com funções trigonométricas isso nos ajuda bastante.

Passo 2

int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta cos^5 theta d theta = int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta cos^4 theta cos theta d theta

Usando a identidade cos^2 x = 1 - s e n^2 x

int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta cos^4 theta cos theta d theta = int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta (1 - s e n^2 theta)^2 cos theta d theta

Agora sim ficou melhor!! Bora resolver?? 😉

Passo 3

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis:

u = s e n theta d u = cos theta d theta

Daí, nossos limites de integração ficam:

theta = (pi)/(2) -> u = 1 theta = 0 -> u = 0

Substituindo na integral, obtemos:

int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta (1 - s e n^2 theta)^2 cos theta d theta = int_0^1 u^7 (1 - u^2)^2 d u

Agora ficou melhor!! Bora lá!! 😉

Passo 4

int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta (1 - s e n^2 theta)^2 cos theta d theta = int_0^1 u^7 (1 - 2 u^2 + u^4) d u

Distribuindo u^7 e separando a integral (regra da soma de integrais), obtemos:

int_0^1 u^7 (1 - 2 u^2 + u^4) d u = int_0^1 u^7 d u - 2 int_0^1 u^9 d u + int_0^1 u^(11) d u

Resolvendo cada integral pela regra da potência, temos:

int_0^1 u^7 (1 - 2 u^2 + u^4) d u = [(1)/(8) u^8 - (1)/(5) u^(10) + (1)/(12) u^(12)]_0^1

= ((1)/(8) - (1)/(5) + (1)/(12)) - 0

= (15 - 24 + 10)/(120)

int_0^1 u^7 (1 - 2 u^2 + u^4) d u = (1)/(120)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int_0^((pi)/(2)) s e n^7 theta cos^5 theta d theta = (1)/(120)

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