Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 16
Calcula a integral
Passo 1
Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!
Olhando para o integrando, temos uma potência de uma função trigonométrica, o que nos dá a ideia e fazer o uso da uma identidade que já conhecemos:
Perceba que
Abrindo as contas e usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente para depois substituir lá nas contas iniciais, tá?
Passo 2
Vamos resolver primeiro
Note que e a gente tem um produto de funções.. caçando bem na memória, uma técnica de integração que nos parece útil em situações com essa é a por partes, então vamos usar, tomando
E,
Sendo assim,
Passo 3
Vamos resolver
Por ter um produto de funções, nos parece que vamos usar partes né? Mas se ligue, no produto das funções, tem o seno e cosseno se multiplicando com argumentos diferentes, o que nos lembra a identidade
No nosso caso,
Substituindo na integral,
Fazendo o produto e usando as propriedades de integral,
Temos que achar as primitivas, na igualdade acima... mas veja só : a gente já fez as duas, uma de maneira mais clara, pois vimos que
Mas a outra integral, é so a gente fazer o seguinte
Daí, e
Mas a gente já fez essa conta,
Logo,
Passo 4
Vamos substituir na nossa conta inicial o que fizemos nos passos anteriores, ou seja,
Arrumando as contas,