Calcula a integral

∫   x   s e n 3 x   d x  

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Olhando para o integrando, temos uma potência de uma função trigonométrica, o que nos dá a ideia e fazer o uso da uma identidade que já conhecemos:

s e n 2 x =     1 - cos ⁡ 2 x 2  

Perceba que

∫   x   s e n 3 x   d x   = ∫   x   s e n x ⋅ s e n 2 x   d x = ∫   x   s e n   x     1 - cos ⁡ 2 x 2   d x

Abrindo as contas e usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,

∫   x   s e n   x     1 - cos ⁡ 2 x 2   d x = 1 2 ∫ x s e n   x   d x   - 1 2 ∫   x   s e n x cos ⁡ 2 x d x  

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente para depois substituir lá nas contas iniciais, tá?

Passo 2

Vamos resolver primeiro

∫ x s e n   x   d x  

Note que e a gente tem um produto de funções.. caçando bem na memória, uma técnica de integração que nos parece útil em situações com essa é a por partes, então vamos usar, tomando u = x ⇒ d u = d x  

E,

d v = s e n x ⇒ v =   - c o s x    

Sendo assim,

∫ x s e n   x   d x   = - x cos ⁡ x + ∫ c o s x   d x   =   - x c o s x + s e n x  

Passo 3

Vamos resolver

���   x   s e n x cos ⁡ 2 x d x

Por ter um produto de funções, nos parece que vamos usar partes né? Mas se ligue, no produto das funções, tem o seno e cosseno se multiplicando com argumentos diferentes, o que nos lembra a identidade

s e n   α   c o s β = 1 2 s e n α - β + s e n   α + β

No nosso caso,

s e n x cos ⁡ 2 x = 1 2 s e n - x + s e n 3 x  

Substituindo na integral,

∫   x   s e n x cos ⁡ 2 x d x =   ∫   x   1 2 s e n - x + s e n 3 x   d x

Fazendo o produto e usando as propriedades de integral,

∫   x   1 2 s e n - x + s e n 3 x   d x = - 1 2 ∫ x s e n x   d x   + 1 2 ∫   x   s e n 3 x   d x    

Temos que achar as primitivas, na igualdade acima... mas veja só : a gente já fez as duas, uma de maneira mais clara, pois vimos que

- 1 2 ∫ x s e n x   d x   =   - 1 2 - x c o s x + s e n x  

Mas a outra integral, é so a gente fazer o seguinte

u = 3 x ⇒ x = u 3

Daí, d u = 3   d x   e

∫   x   s e n 3 x   d x = 1 9 ∫   u   s e n u d u

Mas a gente já fez essa conta,

1 9 ∫   u   s e n u d u = 1 9   - u c o s   u + s e n   u =   - 1 9 [ -   3 x cos ⁡ 3 x + s e n   3 x ]

Logo,

∫   x   s e n x cos ⁡ 2 x d x =     - 1 2 - x c o s x + s e n x   - - 1 9 -   3 x cos ⁡ 3 x + s e n   3 x

Passo 4

Vamos substituir na nossa conta inicial o que fizemos nos passos anteriores, ou seja,

1 2 ∫ x s e n   x   d x   - 1 2 ∫   x   s e n x cos ⁡ 2 x d x = 1 2   - x c o s x + s e n x   - 1 2   - 1 2 - x c o s x + s e n x   - - 1 9 -   3 x cos ⁡ 3 x + s e n   3 x

Arrumando as contas,

1 2 ∫ x s e n   x   d x   - 1 2 ∫   x   s e n x cos ⁡ 2 x d x =   3 4 s e n   x - 1 36 s e n   3 x - 3 4 x cos ⁡ x + 3 x cos ⁡ 3 x + K

Resposta

∫   x   s e n 3 x   d x   =   3 4 s e n   x - 1 36 s e n   3 x - 3 4 x cos ⁡ x + 3 x cos ⁡ 3 x + K

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