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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 28

Questão 28) Calcule a integral definida:

int_0^(pi // 3) s e n^3 t . c o s ² t d t

Passo 1

Primeiro rearranjamos o integrando (para ficar claro onde fazer a substituição) e além disso,

usamos a identidade cos²x + sen²x = 1, certo ?

int s e n^2 t . c o s^2 t . s e n t d t = int ( 1 - c o s^2 t ) . c o s^2 t . s e n t d t

Fazendo u = c o s t então d u = - s e n t d t

Substituindo no integrando, fica

int (1 - u^2) . u^2 - d u = - (u^3)/(3) + (u^5)/(5)

voltando para variável t, temos

int s e n^2 t . c o s^2 t . s e n t d t = - (c o s^3 t)/(3) + cos^5 (t)/(5)

Passo 2

Aplicando os intervalos, temos

int_0^(pi // 3) s e n^3 t . c o s^2 t d t = - (c o s^3 t)/(3) + (1)/(5) cos^5 (t)/()_0^(pi // 3)

int_0^(pi // 3) s e n^3 t . c o s ² t d t = 0,647

Resposta

int_0^(pi // 3) s e n^3 t . c o s ² t d t = 0,647

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