Questão 28) Calcule a integral definida:

∫ 0 π / 3 s e n 3 t . c o s ² t   d t

Passo 1

Primeiro rearranjamos o integrando (para ficar claro onde fazer a substituição) e além disso,

usamos a identidade cos²x + sen²x = 1, certo ?

∫ s e n 2 t . c o s 2 t . s e n t   d t =   ∫ ( 1 - c o s 2 t ) . c o s 2 t . s e n t   d t

Fazendo u = c o s t então d u =   - s e n t d t

Substituindo no integrando, fica

∫ 1 - u 2 . u 2 - d u =   - u 3 3 + u 5 5  

voltando para variável t, temos

∫ s e n 2 t . c o s 2 t . s e n t   d t =   - c o s 3 t 3 + cos 5 ⁡ t 5

Passo 2

Aplicando os intervalos, temos

∫ 0 π / 3 s e n 3 t . c o s 2 t   d t =   - c o s 3 t 3 + 1 5 cos 5 ⁡ t 0 π / 3

∫ 0 π / 3 s e n 3 t . c o s ² t   d t = 0,647

Resposta

∫ 0 π / 3 s e n 3 t . c o s ² t   d t = 0,647

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