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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 15

Avalie a integral.

int sin^3 x sqrt(cos x) d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos ver:

Podemos tornar o seno aplicando sin^2 x + cos^2 x = 1 , da seguinte forma:

int (1 - cos^2 x) sqrt(cos x) sin x d x

Pronto, mas ainda não tá tudo certo! Por isso fazemos uma substituição:

u = cos x d u = - sin x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Aplicando a substituição na integral, temos

int (1 - u^2) sqrt(u) ( - d u )

Resolvendo a integral, fica assim:

int (u^((5)/(2)) - u^((1)/(2))) d u = (2)/(7) u^((7)/(2)) - (2)/(3) u^((3)/(2)) + C

Substituindo o nosso valor de u :

int sin^3 x sqrt(cos x) d x = (2)/(7) ( cos x )^((7)/(2)) - (2)/(3) ( cos x )^((3)/(2)) + C

Finishh!! :)

Resposta

int sin^3 x sqrt(cos x) d x = ( (2)/(7) cos^3 x - (2)/(3) cos x ) sqrt(cos x) + C

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