Avalie a integral.

∫ sin 3 ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos ver:

Podemos tornar o seno aplicando sin 2 ⁡ x + cos 2   ⁡ x = 1 , da seguinte forma:

∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x d x

Pronto, mas ainda não tá tudo certo! Por isso fazemos uma substituição:

u = cos ⁡ x                         d u = - sin ⁡ x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Aplicando a substituição na integral, temos

∫ 1 - u 2 u ( - d u )

Resolvendo a integral, fica assim:

∫ u 5 2 - u 1 2 d u = 2 7 u 7 2 - 2 3 u 3 2 + C

Substituindo o nosso valor de u :

∫ sin 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = 2 7 ( cos ⁡ x ) 7 2 - 2 3 ( cos ⁡ x ) 3 2 + C

Finishh!! :)

Resposta

∫ sin 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = ( 2 7 cos 3 ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x ) cos ⁡ x + C

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