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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 99

Calcule a integral

int (x^3)/(1 + x^2) d x

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar uma substituição simples para que nossa integral fique mais agradável, ou seja, mais simples de se resolver. Assim, façamos

u = 1 + x^2 -> (d u)/(d x) = 2 x -> d x = (d u)/(2 x)

(1)/(2) * int (u - 1)/(u) d u = (1)/(2) * [int 1 - (1)/(u) d u]

Passo 2

Como a integral é linear temos que integral da diferença é a diferença das integrais, dessa forma podemos fazer

(1)/(2) * [int 1 - (1)/(u) d u] = (1)/(2) * int d u - (1)/(2) * int (d u)/(u)

Resolvendo cada integral separadamente e juntando o resultado no final, vamos obter

(i) int d u = u + C

(i i) int (d u)/(u) = ln |u| + C

Retornando a variável x e multiplicando pela constante, teremos

(1)/(2) * [int 1 - (1)/(u) d u] = (u)/(2) - (ln |u|)/(2) + C

-> (1 + x^2)/(2) - (ln |1 + x^2|)/(2) + C

Resposta

(1 + x^2)/(2) - (ln |1 + x^2|)/(2) + C

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