Calcule a integral

∫ x 3 1 + x 2   d x  

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar uma substituição simples para que nossa integral fique mais agradável, ou seja, mais simples de se resolver. Assim, façamos

u = 1 + x 2 → d u d x = 2 x → d x = d u 2 x

1 2 ⋅ ∫ u - 1 u d u = 1 2 ⋅ ∫ 1 - 1 u   d u

Passo 2

Como a integral é linear temos que integral da diferença é a diferença das integrais, dessa forma podemos fazer

1 2 ⋅ ∫ 1 - 1 u   d u = 1 2 ⋅ ∫ d u - 1 2 ⋅ ∫ d u u  

Resolvendo cada integral separadamente e juntando o resultado no final, vamos obter

i   ∫ d u = u + C

i i   ∫ d u u   = ln ⁡ u + C

Retornando a variável x e multiplicando pela constante, teremos

1 2 ⋅ ∫ 1 - 1 u   d u = u 2 - ln ⁡ u 2 + C  

→     1 + x 2 2 - ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

Resposta

1 + x 2 2 - ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

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