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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 50

Avalie a integral indefinida. Ilustre e verifique se a sua resposta é razoável colocando em um gráfico o integrando e sua antiderivada (C=0).

∫ sin 4 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Podemos fazer simplificações. Vamos ver:

∫ 1 2 sin ⁡ 2 x 4 d x

1 16 ∫ sin 4 ⁡ 2 x d x

Pronto, mas ainda não tá tudo certo! Aplicamos aquela integral:

sin ⁡ 2 x = - cos ⁡ 2 x 2

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Organizando a integral, temos

1 16 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 4 x 2 d x

Então, fica assim:

1 64 ∫ ( 1 - 2 cos ⁡ 4 x + cos 2 ⁡ 4 x ) d x

Resolvemos agora a integral:

= 1 64 x - 1 2 sin ⁡ 4 x + 1 128 ∫ ( 1 + cos ⁡ 8 x ) d x + C

= 1 64 x - 1 2 sin ⁡ 4 x + 1 128 ( x + 1 8 sin ⁡ 8 x ) + C

= 3 128 x - 1 128 sin ⁡ 4 x + 1 1024 sin ⁡ 8 x + C

Analisando o gráfico, temos:

Observe que f x =   0 sempre que F tem uma tangente horizontal. Certinho??

Finishh!! :)

Resposta

∫ sin 4 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = 3 128 x - 1 128 sin ⁡ 4 x + 1 1024 sin ⁡ 8 x + C

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