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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 36

Nos Exercícios de 31 a 36, calcule a integral definida.

36 )   ∫ π 6 π 4 c o t g ³ w . d w

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos lembrar que:

c o t g ² w = c o s e c ² w - 1

Então

∫ π 6 π 4 c o t g ³ w . d w = ∫ π 6 π 4 c o t g   w . c o t g ² w . d w = ∫ π 6 π 4 c o t g   w . ( c o s e c ² w - 1 ) . d w = ∫ π 6 π 4 c o t g   w . c o s e c ² w . d w - ∫ π 6 π 4 c o t g   w . d w

Para a primeira integral substituímos:

u = c o t g   ( w )

d u = - c o s e c 2 w . d w

- d u = c o s e c 2 w . d w

Então:

∫ π 6 π 4 c o t g   w . c o s e c ² w . d w = - ∫ π 6 π 4 u . d u = - u 2 2 = - c o t g 2 w 2 | π 4 π 6 = - 1 2 c o t g 2 π 4 - c o t g 2 π 6 = - 1 2 1 - 3 2 = 1

Na segunda integral:

∫ π 6 π 4 c o t g   w . d w = ln ⁡ | s e n   ( w ) | | π 4 π 6 = ln ⁡ s e n   π 4 - ln ⁡ s e n   π 6 = ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 2 2 1 2 = ln ⁡ 2 = 1 2 . ln ⁡ 2

Concluindo:

∫ π 6 π 4 c o t g   w . c o s e c ² w . d w - ∫ π 6 π 4 c o t g   w . d w = 1 - 1 2 . ln ⁡ 2

Resposta

∫ π 6 π 4 c o t g ³ w . d w = 1 - 1 2 . ln ⁡ 2

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