Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 63

Suponha que L seja uma função tal que para . Determinar uma expressão para a derivada de cada função.

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão dá pra gente a derivada de uma função , sendo

Para

E teremos que encontrar uma expressão para a derivada de cada função abaixo:

(a)

(b)

(c)

(d)

Repare que cada uma das funções descritas nos itens possuem relações com a função . Sendo assim, faremos uso das propriedades das derivadas para encontrar o que estamos procurando.

A ideia será a seguinte: nós queremos a derivada de cada uma dessas função, então vamos derivar dos dois lados de cada equação e usando a regra da cadeia vamos conseguir descobrir o valor das derivadas sem precisar saber a expressão de .

Vamos desenvolver cada uma no passo a passo.

Vem comigo que te ajudo com isso.

Passo 2

(a)

Queremos a derivada de

Assim, faremos:

Para resolver a derivada vamos precisar da regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso a função de fora é e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:

Nós sabemos a expressão de então podemos escrever a equação como sendo:

Prontinho, agora é só usar a mesma técnica para as outras letras

Passo 3

(b) aqui queremos a derivada de

Então faremos:

Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente:

Substituindo :

Passo 4

(c)

aqui queremos a derivada de

Aplicando a derivada:

Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente, mas nesse caso a função de fora é o quadrado e a de dentro que é o :

Agora não tem escapatória, precisamos de , mas ele não é difícil de encontrar, tente lembrar, a derivada de qual função te dá como resposta ? É o , então