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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 3

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(9 x^2 + 16) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Eu sei que você já deve ter percebido que essa integral provavelmente vai ser um arco tangente de alguma coisa, mas antes de fazer isso temos que brincar um pouco com a expressão. Primeiro vamos fazer a substituição t = 3 x . Assim, 9 x^2 = t^2 e d x = d t // 3 :

I = int (1)/(9 x^2 + 16) d x = (1)/(3) int (1)/(t^2 + 16) d t

Agora vamos fazer t = 4 u , de modo que d t = 4 d u :

I = (1)/(3) int (1)/(16 u^2 + 16) 4 d u = (1)/(12) int (1)/(1 + u^2) d u

Passo 2

Agora sim a integral que sobrou é exatamente o arco tangente:

I = (1)/(12) arctan u + C

Como u = t // 4 :

I = (1)/(12) arctan (t)/(4) + C

Por fim, lembre-se que t = 3 x :

I = (1)/(12) arctan (3 x)/(4) + C

Resposta

(1)/(12) arctan (3 x)/(4) + C

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