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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 8

Calcule a integral indefinida.

int (x)/(x^4 + 16) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

O primeiro passo é reescrever a integral:

I = int (x)/(x^4 + 16) d x = int (x)/((x^2)^2 + 16) d x

Vamos fazer a substituição t = x^2 . Note que d t = 2 x d x , assim, temos que

x d x = (d t)/(2)

Logo,

I = (1)/(2) int (1)/(16 + t^2) d t

Agora vamos fazer uma segunda substituição: t = 4 u com d t = 4 d u :

I = (1)/(2) int (1)/(16 + 16 u^2) * 4 d u = (1)/(8) int (1)/(1 + u^2) d u

Passo 2

Fazendo a integração,

I = (1)/(8) arctan u + C

Mas u = t // 4 :

I = (1)/(8) arctan (t)/(4) + C

Por fim, como t = x^2 :

I = (1)/(8) arctan (x^2)/(4) + C

Resposta

(1)/(8) arctan (x^2)/(4) + C

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