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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 41

Avalie a integral.

int sin 5 x sin 2 x d x

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos integrar:

int sin 5 x sin 2 x d x

Pra isso vamos usar uma substituição trigonométrica. Usando as equações de soma e diferença de arcos:

cos (a + b) = cos a cos b - sin b sin a

cos (a - b) = cos a cos b + sin b sin a

Assim:

sin b sin a = (cos (a - b) - cos (a + b))/(2)

No nosso caso temos:

a = 5 x

b = 2 x

Assim:

sin (5 x) sin (2 x) = (cos (5 x - 2 x) - cos (5 x + 2 x))/(2)

sin (5 x) sin (2 x) = (cos (3 x) - cos (7 x))/(2)

Então:

int sin 5 x sin 2 x d x = int (cos (3 x) - cos (7 x))/(2) d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral:

int (cos (3 x) - cos (7 x))/(2) d x = (1)/(2) int cos (3 x) d x - (1)/(2) int cos (7 x) d x

Começando pela primeira integral, podemos usar a substituição:

u = 3 x

(d u)/(d x) = 3 -> d x = (1)/(3) d u

Assim:

(1)/(2) int cos (3 x) d x = (1)/(2) int (1)/(3) cos (u) d u

= (1)/(6) sin u = (1)/(6) sin 3 x

Agora a segunda integra, seguindo a mesma lógica temos:

(1)/(2) int cos (7 x) d x = (1)/(2) ((1)/(7) sin 7 x)

= (1)/(14) sin 7 x

Juntando tudo:

int (cos (3 x) - cos (7 x))/(2) d x = (1)/(6) sin 3 x - (1)/(14) sin 7 x + C

Prontinhoo!

Resposta

int (cos (3 x) - cos (7 x))/(2) d x = (1)/(6) sin 3 x - (1)/(14) sin 7 x + C

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