Enunciado

Nos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:

11. ∫ c o s s e c 3 x d x

Passo 1

Essa integral precisará da seguinte relação, chamada de Relação de Recorrência:

∫ c o s s e c n x d x = n - 2 n - 1 ∫ c o s s e c n - 2 x d x - c o t g x   c o s s e c n - 2 x n - 1

Que só pode ser aplicada para os casos em que n > 2 .

Passo 2

Substituindo o n pelo valor 3 que é a potência da nossa função:

∫ c o s s e c 3 x d x = 3 - 2 3 - 1 ∫ c o s s e c 3 - 2 x d x - c o t g x   c o s s e c 3 - 2 x 3 - 1

Ficaremos com:

∫ c o s s e c 3 x d x = 1 2 ∫ c o s s e c x d x - c o t g x   c o s s e c 3 - 2 x 2

Resolvendo a integral que restou:

∫ c o s s e c 3 x d x = - l n ⁡ | c o s s e c x + c o t g x | 2 - c o t g x   c o s s e c 3 - 2 x 2

Resposta

∫ c o s s e c 3 x d x = - l n ⁡ | c o s s e c x + c o t g x | 2 - c o t g x   c o s s e c 3 - 2 x 2

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