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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 10

Nos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:

10. ∫ c o s s e c 4 x d x

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a integral da seguinte maneira:

∫ c o s s e c 2 x c o s s e c 2 x d x

E pela relação trigonométrica:

c o t g 2 x + 1 = c o s s e c 2 x

A integral pode ser escrita como:

∫ c o s s e c 2 x c o t g 2 x + 1 d x

Passo 2

E então fazemos a seguinte substituição:

u = c o t g x → d u = - c o s s e c 2 x d x

Isolando o dx:

d x = - d u c o s s e c 2 x

E nossa integral então vai ficar:

- ∫ u 2 + 1   d x

Integrando cada termo separadamente:

- u 3 3 - u + c

Retornando à variável x:

- c o t g 3 x 3 - c o t g x + c

Resposta

- c o t g 3 x 3 - c o t g x + c

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