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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 5

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(4 + (x - 1)^2) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Para simplificar um pouco as coisas, vamos fazer t = x - 1 com d t = d x :

I = int (1)/(4 + (x - 1)^2) d x = int (1)/(4 + t^2) d t

Agora vamos fazer t = 2 u , de tal forma que d t = 2 d u :

I = int (1)/(4 + 4 u^2) * 2 d u = (1)/(2) int (1)/(1 + u^2) d u

Passo 2

Agora nós fazemos a integral:

I = (1)/(2) arctan u + C

Mas sabemos que u = t // 2 :

I = (1)/(2) arctan (t)/(2) + C

Por fim, como t = x - 1 :

I = (1)/(2) arctan (x - 1)/(2) + C

Resposta

(1)/(2) arctan (x - 1)/(2) + C

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