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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 6

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(9 + (3 - x)^2) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Para simplificar um pouco as coisas, vamos fazer t = 3 - x com d t = - d x :

I = int (1)/(9 + (3 - x)^2) d x = - int (1)/(9 + t^2) d t

Agora vamos fazer t = 3 u , de tal forma que d t = 3 d u :

I = - int (1)/(9 + 9 u^2) * 3 d u = - (1)/(3) int (1)/(1 + u^2) d u

Passo 2

Agora nós fazemos a integral:

I = - (1)/(3) arctan u + C

Mas sabemos que u = t // 3 :

I = - (1)/(3) arctan (t)/(3) + C

Por fim, como t = 3 - x :

I = - (1)/(3) arctan (3 - x)/(3) + C

Resposta

- (1)/(3) arctan (3 - x)/(3) + C

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