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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 37

Calcule as integrais.

Passo 1

Se ligue temos uma integral de potências de seno e cosseno, então vamos ter que usar as regras de impar e par e etc.

Nesse caso, temos que a potência do seno é impar, enquanto do cosseno é par, então, vamos escrever a potência impar como para usar a identidade cos^2 x + s e n^2 x = 1 .

Vamos lá,

int sin^3 x cos^4 x d x = int cos^4 x ( 1 - cos^2 x ) s e n x d x = int cos^4 x s e n x d x - int cos^6 x s e n x d x

Passo 2

Agora que facilitamos nossas contas, vamos resolver cada uma das integrais, separadamente, blz?

Vamos resolver a primeira integral, ou seja, int cos^4 x s e n x d x .

Perceba que basta fazer uma substituição...em geral esse método é usado para recair numa.

Então é só chamar u = c o s x ⟹ d u = - s e n x d x .

int cos^4 x s e n x d x = - int u^4 d u = - (u^5)/(5) = - (cos^5 x)/(5)

Resolvendo a outra integral, ( int cos^6 x s e n x d x )

Tomando, mais uma vez u = c o s x ⟹ d u = - s e n x d x

Daí,

int cos^6 x s e n x d x = - int u^6 d x = - (u^7)/(7) = - (cos^7 x)/(7)

Passo 3

Substituindo na integral inicial,

int sin^3 x cos^4 x d x = int cos^4 x s e n x d x - int cos^6 x s e n x d x = - (cos^5 x)/(5) + (cos^7 x)/(7) + C

Resposta

int sin^3 x cos^4 x d x = - (cos^5 x)/(5) + (cos^7 x)/(7) + C

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