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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 84

Avalie ∑ k = 2 ∞ ( 1 / ( k 2 - 1 ) ) encontrando os limites conforme n → ∞ da n-ésima soma parcial da série.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série,

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 - 1  

Vamos encontrar uma fórmula para a enésima soma parcial dessa série. Tal soma pode ser escrita como:

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 - 1   = ∑ k = 2 n 1 k 2 - 1 = ∑ k = 2 n 1 ( k - 1 ) ( k + 1 ) = ∑ k = 2 n 1 2 1 k - 1 - 1 k + 1 =

1 2 ∑ k = 2 n 1 k - 1 - 1 k + 1 = 1 2 1 1 - 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 + … + 1 n - 2 - 1 n =

1 2 1 1 + 1 2 - 1 n - 1 n + 1 = 1 2 3 2 - 1 n - 1 n + 1

Passo 2

Por fim, vamos manipular essa fórmula da enésima soma e determinar sua possível convergência.

Simplificando os termos,

1 2 3 2 - 1 n - 1 n + 1 = 1 2 3 n n + 1 - 2 n + 1 - 2 n 2 n ( n + 1 ) = 1 2 3 n 2 - n - 2 2 n ( n + 1 )

Assim, temos a seguinte fórmula:

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 - 1 = 3 n 2 - n - 2 4 n ( n + 1 )

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 - 1 = l i m n → ∞ 3 n 2 - n - 2 4 n ² + 4 n = 3 4

Portanto, a série dada é convergente e converge para 3 4 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

A série converge para 3 4 .

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