Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 52
Encontre o volume do sólido descrito.
Uma pirâmide com altura e base triangular equilátera com lado (um tetraedro).
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! A questão quer que calculemos o sólido que é uma pirâmide com altura e base triangular equilátera com lado :
Assim, podemos calcular o volume através da fórmula:
Onde é a área do triângulo equilátero!!
Vamos considerar o triângulo que consiste dos dois vértices da base e do centro da base, como na figura abaixo:
O triângulo é correspondente ao triângulo de altura , assim:
Também por semelhanças de triângulos, temos que:
As duas equações implicam que:
Achamos os limites de integração pela figura, que são e .
Passo 2
E como a área é um triângulo equilátero:
Passo 3
Pronto, agora só falta calcular o volume:
Passo 4
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 5
Pronto, já encontramos a integral indefinida.
Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.
Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá: