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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 15

Quando uma bebida gelada é retirada de um refrigerador, sua temperatura é de 5   ° C . Depois de 25 minutos em um ambiente a 20   ° C , sua temperatura aumenta para 10   ° C .

a) Qual é a temperatura da bebida após 50 minutos?

b) Quando sua temperatura será de 15   ° C ?

Passo 1

Este é um problema sobre a lei de resfriamento de Newton, dada pela equação diferencial

d T d t = k ( T - T s )

Chamando y = T - T s , a equação fica

d y d t = k y ⇒ y = A e k t

Note que A representa a diferença de temperatura inicial:

t = 0 ⇒ y = T 0 - T s = A

Portanto,

T ( t ) = T s + T 0 - T s   e k t

Essa é a solução geral para o problema do resfriamento exponencial!

Netse caso, temos T 0 = 5   ° C e T s = 20   ° C :

T t = 20 - 15 e k t

Neste caso temos um aquecimento pois a temperatura da bebida aumenta!

Passo 2

Sabemos que para t = 25   m i n , T 25 = 10   ° C :

10 = 20 - 15   e 25 k ⇒ e 25 k = 10 15 = 2 3

Logo,

25 k = ln ⁡ 2 3 ⇒ k = - 0,016

Assim,

T t = 20 - 15 e - 0,016 t

Para t = 50   m i n :

T 50 = 20 - 15 e - 0,016   ⋅   50

Portanto,

T 50 = 13,3   ° C

Passo 3

No item (b) queremos achar t tal que T t = 15   ° C :

15 = 20 - 15 e - 0,016 t ⇒ e - 0 , 016   t = 5 15 = 1 3

Portanto,

0 , 016   t = ln ⁡ 3

Logo,

t = 68,7   m i n

Resposta

T 50 = 13,3   ° C

t = 68,7   m i n

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