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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 17

A taxa de mudança da pressão atmosférica P em relação à altitude h é proporcional a P , desde que a temperatura seja constante. A 15   ° C a pressão é 101,3   k P a ao nível do mar e 87,14   k P a a h = 1000   m .

a) Qual é a pressão a uma altitude de 3000   m ?

b) Qual é a pressão no topo do monte McKinley, a uma altitude de 6187   m ?

Passo 1

O problema fornece que a taxa de variação da pressão P com a altiude h é dada por

d P d h = k P

Essa é a equação do crescimento exponencial, cuja solução é

P h = P 0 e k h

Neste problema temos que P 0 = 101,3   k P a , logo,

P h = 101,3   e k h

Além disso, P 1000 = 87,14   k P a :

87,14 = 101,3   e 1000 k ⇒ e 1000 k = 87,14 101,3

Logo,

1000   k = ln ⁡ 87,14 101,3 ⇒ k = - 0,00015

Portanto,

P h = 101,3   e - 0,00015 h

Passo 2

Com h = 3000   m :

P 3000 = 101,3 ⋅ e - 0,00015   ⋅   3000

Logo,

P 3000 = 64,6   k P a

Da mesma forma, com h = 6187   m :

P 6187 = 101,3 ⋅ e - 0,00015   ⋅   6187

Assim, no topo do monte McKingley:

P 6187 = 40   k P a

Resposta

P 3000 = 64,6   k P a

P 6187 = 40   k P a

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