Enunciado

Quando uma bebida gelada e tirada da geladeira, sua temperatura é de 5 ° C. Depois de 25 minutos em uma sala a 20 ° C , sua temperatura terá aumentado para 10 ° C.

(a) Qual é a temperatura da bebida depois de 50 minutos?

(b) Quando a temperatura será 15 ° C ?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

Aqui a gente vai avaliar o aquecimento de um refrigerante tirado da geladeira! O enunciado diz que ele sai da geladeira a 5 ° C e depois de 25   m i n em uma sala a 20 ° C sua temperatura aumenta pra 10 ° C .

Na letra (a) queremos saber qual é a temperatura da bebida depois de 50   m i n !

Pra resolver esse problema vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que, a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:

T ' ( t ) = k T ( t ) - T s

Onde T é a temperatura em função do tempo t , a constante T s é a temperatura do meio circundante e k é a taxa de resfriamento relativa e constante. Como a temperatura do refrigerante esta subindo a taxa de resfriamento vai ser negativa!

Podemos dizer que:

y = T ( t ) - T s

Então temos:

T ' t = k ( y )

Que é o mesmo resultado que a gente obtem quendo derivamos y = T ( t ) - T s .

Passo 2

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Ou

T ( t ) - T s = T ( 0 ) - T s e k t

Se quando t = 25 minutos, a bebida com temperatura inicial T 0 = 5 ° C, em um meio circundante com temperatura T s = 20 ° C, apresenta a temperatura T 25 = 10 ° C, podemos substituir esses valores na equação exponencial:

T ( 25 ) - T s = T ( 0 ) - T s e k × 25

10 - 20 = 5 - 20 e 25 k

- 10 = - 15 e 25 k

e 25 k = 2 3

Jogando ln dos dois lados:

ln ⁡ e 25 k = ln ⁡ 2 3

k = ln ⁡ 2 3 25

Logo, a temperatura obedece a função:

T ( t ) - 20 = ( - 15 ) × e ln ⁡ 2 3 25 t

T t = - 15 2 3 t 25 + 20

Passo 3

Agora, para achar a temperatura da bebida depois de 50 minutos é só encontrar T ( 50 ) :

T t = - 15 2 3 t 25 + 20

T 50 = - 15 2 3 50 25 + 20

T 50 = - 15 2 3 2 + 20

T 2 = 13,3 ° C

Logo, depois de 50 minutos a temperatura é de aproximadamente 13.3 °C.

Passo 4

Agora vamos calular quanto tempo demora pra bebida chegar a 15 ° C ! Para isso vamos calcular T t = 15 :

T t = - 15 2 3 t 25 + 20 = 15

2 3 t 25 = 15 - 20 - 15

Jogamos um ln dos dois lados:

ln ⁡ 2 3 t 25 = ln ⁡ 1 3

Usando a propriedade de potência:

t 25 ln ⁡ 2 3 = ln ⁡ 1 3

Isolando o t :

t = 25 ln ⁡ 1 3 ln ⁡ 2 3

Calculando:

t = 67,73

Logo, a temperatura será 15 ° C após aproximadamente 68 minutos.

Resposta

(a) Depois de 50 minutos a temperatura é de aproximadamente 13.3 °C.

(b) A temperatura será 15 ° C após aproximadamente 68 minutos.

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