Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 17

Quando uma bebida gelada e tirada da geladeira, sua temperatura é de 5 ° C. Depois de 25 minutos em uma sala a 20 ° C , sua temperatura terá aumentado para 10 ° C.

(a) Qual é a temperatura da bebida depois de 50 minutos?

(b) Quando a temperatura será 15 ° C ?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

Aqui a gente vai avaliar o aquecimento de um refrigerante tirado da geladeira! O enunciado diz que ele sai da geladeira a 5 ° C e depois de 25   m i n em uma sala a 20 ° C sua temperatura aumenta pra 10 ° C .

Na letra (a) queremos saber qual é a temperatura da bebida depois de 50   m i n !

Pra resolver esse problema vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que, a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:

T ' ( t ) = k T ( t ) - T s

Onde T é a temperatura em função do tempo t , a constante T s é a temperatura do meio circundante e k é a taxa de resfriamento relativa e constante. Como a temperatura do refrigerante esta subindo a taxa de resfriamento vai ser negativa!

Podemos dizer que:

y = T ( t ) - T s

Então temos:

T ' t = k ( y )

Que é o mesmo resultado que a gente obtem quendo derivamos y = T ( t ) - T s .

Passo 2

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Ou

T ( t ) - T s = T ( 0 ) - T s e k t

Se quando t = 25 minutos, a bebida com temperatura inicial T 0 = 5 ° C, em um meio circundante com temperatura T s = 20 ° C, apresenta a temperatura T 25 = 10 ° C, podemos substituir esses valores na equação exponencial:

T ( 25 ) - T s = T ( 0 ) - T s e k × 25

10 - 20 = 5 - 20 e 25 k

- 10 = - 15 e 25 k

e 25 k = 2 3

Jogando ln dos dois lados:

ln ⁡ e 25 k = ln ⁡ 2 3

k = ln ⁡ 2 3 25

Logo, a temperatura obedece a função:

T ( t ) - 20 = ( - 15 ) × e ln ⁡ 2 3 25 t

T t = - 15 2 3 t 25 + 20

Passo 3

Agora, para achar a temperatura da bebida depois de 50 minutos é só encontrar T ( 50 ) :

T t = - 15 2 3 t 25 + 20

T 50 = - 15 2 3 50 25 + 20

T 50 = - 15 2 3 2 + 20

T 2 = 13,3 ° C

Logo, depois de 50 minutos a temperatura é de aproximadamente 13.3 °C.

Passo 4

Agora vamos calular quanto tempo demora pra bebida chegar a 15 ° C ! Para isso vamos calcular T t = 15 :

T t = - 15 2 3 t 25 + 20 = 15

2 3 t 25 = 15 - 20 - 15

Jogamos um ln dos dois lados:

ln ⁡ 2 3 t 25 = ln ⁡ 1 3

Usando a propriedade de potência:

t 25 ln ⁡ 2 3 = ln ⁡ 1 3

Isolando o t :

t = 25 ln ⁡ 1 3 ln ⁡ 2 3

Calculando:

t = 67,73

Logo, a temperatura será 15 ° C após aproximadamente 68 minutos.

Resposta

(a) Depois de 50 minutos a temperatura é de aproximadamente 13.3 °C.

(b) A temperatura será 15 ° C após aproximadamente 68 minutos.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Algumas das maiores marés no mundo ocorrem na Bay of Fundy, na Costa Atlântica do Canadá. No Cabo Hopewell a profundidade da água em maré baixa é cerca de 2,0 m e em maré alta é cerca de 12,0 m. O per
Se uma pedra for atirada verticalmente para cima sobre a superfície de Marte, com velocidade de 15 m/s, sua altura após t segundos será h = 15 t - 1,86 t ² ² . (a) Qual a velocidade da pedra após 2 s?
Um partícula se move com uma função posição S = t 4 - 4 t 3 - 20 t 2 + 20 t t ≥ 0 (a) Quando a partícula tem a velocidade de 20 m/s? (b) Quando a aceleração é 0? Qual é o significado deste valor de t?
Uma partícula está se movimentando ao longo de uma hipérbole x y = 8 . Quando atinge o ponto ( 4,2 ) , a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3c m / s . Quão rápido a coordenada x do ponto está
O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de 0,15 m s . No momento em que a base da escada está a 3 m da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 m s . Qual o comprim