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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 12

Uma partícula está se movimentando ao longo de uma hipérbole x y = 8 . Quando atinge o ponto ( 4,2 ) , a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3   c m / s . Quão rápido a coordenada x do ponto está variando nesse momento?

Passo 1

Eaee, belezinha? Bom... a questão nos diz que uma partícula se movimenta ao longo de uma hipérbole que é dada pela seguinte expressão:

x y = 8

Ainda, quando atinge o ponto ( 4,2 ) , a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3   c m / s .

A questão quer saber o quão rápido a coordenada x do ponto está variando nesse momento.

Vamos pensar um pouquinho... queremos uma velocidade e temos uma equação que descreve um espaço percorrido... Lembrou de alguma coisa??

A gente sabe que a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo né!!

Pois essa é a chave para resolvermos essa questão!!

Vamos aplicar?? 😉

Passo 2

Temos que x e y são funções do tempo t , logo suas derivadas são:

x ' ( t ) = d x d t

y ' t =   d y d t

A coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3   c m / s , isto é:

d y d t = - 3

Para saber o quão rápido está a coordenada x , é preciso descobrir quem é d x d t .

Passo 3

Derivada da expressão x y = 8 :

y d x d t + x d y d t = 0

Sendo x = 4 ; y = 2 e d y d t = - 3 então d x d t é:

2 d x d t + 4 ∙ ( - 3 ) = 0

Isolando d x d t :

d x d t = 12 2 ∴

d x d t = 6   c m / s

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

d x d t = 6   c m / s

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