O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de 0,15 m s   . No momento em que a base da escada está a 3 m da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 m s . Qual o comprimento da escada ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma escada desliza a uma taxa de 0,15   m / s por uma parede vertical. No momento em que a base da escada está a 3 m   da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2   m / s .

Queremos calcular o comprimento L da escada.

Primeiramente, através do enunciado podemos esboçar o seguinte esquema:

Agora vamos prosseguir!

Passo 2

Feito o esquema, podemos ver mais claramente a relação entre as variáveis do problema. No caso, por Pitágoras temos:

x 2 + y 2 = L 2

Onde x é a posição da “base”, y é a posição do “topo” da escada e L é o comprimento da mesma.

Além disso, o enunciado estabelece as taxas de variação de x e y no tempo, ou seja:

d x d t = 0,2 m s  

d y d t = - 0,15 m s

Onde o sinal negativo se dá devido ao fato de y diminuir conforme o tempo passa.

Passo 3

Para relacionar os dados do problema com a relação que encontramos no passo 2, derivamos implicitamente em relação à t :

2 x ⋅ d x d t + 2 y ⋅ d y d t = 0  

x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t = 0

Passo 4

O enunciado nos informou que a taxa com que x varia é de 0,2 m s no instante em que x = 3   m .

Assim, substituindo os valores na expressão que encontramos no passo 3 podemos encontrar y :

3 ⋅ 0,2 + y ⋅ - 0,15 = 0

y = - 3 ⋅ , 2 - 0,15

y = 4   m

Ou seja, voltando à expressão do passo 2 temos:

3 2 + 4 2 = L 2

L = 5   m

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

O comprimento da escada é de 5   m .

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