Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 18

Biólogos observaram que a taxa de canto dos grilos de uma certa espécie aparentemente está relacionada com a temperatura. A tabela mostra as taxas de canto para várias temperaturas.

(a) Faça um diagrama de dispersão dos dados.

(b) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão.

(c) Use o modelo linear da parte (b) para estimar a taxa de cantos a .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos dá uma tabela e pede pra gente fazer um diagrama de dispersão de dados, a partir dela, fazer um gráfico da reta de regressão linear e usar esse modelo linear para estimar a taxa de cantos a .

A tabela que ele nos deu é essa daqui:

Ela relaciona a temperatura com a taxa de canto de uma espécie de grilos. A primeira coisa que devemos fazer é um gráfico de dispersão, que é uma representação desse conjunto de dados! Pra isso, nós vamos usar a temperatura como eixo horizontal e a taxa de canto como eixo vertical e marcar um ponto para cada linha da tabela, de acordo com a numeração dada.

Depois, nós vamos pegar o primeiro e o último pontos dados na tabela e calcular a inclinação da reta da forma:

Onde é a taxa de canto final, a taxa de canto inicial, a temperatura final e a temperatura inicial.

Com essa inclinação, vamos construir a reta de regressão linear usando a equação geral da reta:

Onde é a inclinação calculada e é um ponto conhecido do nosso gráfico.

Então, vamos comparar o resultado obtido com a regressão linear dada por uma ferramenta gráfica e depois vamos apenas substituir na equação da reta para obter o valor da taxa de canto nessa temperatura e responder o último item da nossa questão.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar desenhando o nosso gráfico com a temperatura no eixo horizontal e a taxa de canto no eixo vertical e vamos marcar os pontos , , , , , , e .

Esse é o nosso diagrama dispersão. Repare que os pontinhos são formados pelos dados da tabela e que se aproximam muito da forma de uma reta.

Passo 3

Agora vamos encontrar a reta de regressão linear a partir do gráfico anterior, para responder a letra (b).

Nós vimos no passo que a equação da reta pode ser dada na forma:

Onde representa a taxa de canto, a temperatura, a inclinação da reta e é um ponto conhecido do nosso gráfico.

Pra calcular essa inclinação , vamos usar o primeiro e o último ponto do gráfico anterior, e , respectivamente. Assim, vamos ter:

Calculando, obtemos:

Agora usando o ponto e a inclinação calculada e substituindo na equação da reta, vamos ter:

Aplicando a distributiva no produto do lado direito da equação:

E isolando :

Passo 4

Então, traçamos a reta de regressão no gráfico:

Se a gente usasse uma ferramenta computacional para traçar esse gráfico e obter a reta de regressão linear a partir dos pontos dados, nós teríamos algo assim: