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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 36

Uma torneira está preenchendo uma pia hemisférica de 60   c m de diâmetro com água a uma taxa de 2 L m i n . Encontre a taxa na qual a água está aumentando na pia quando estiver cheia até a metade. [Use os seguintes fatos: 1L é 1000 cm³. O volume de uma porção de uma esfera de raio r com altura h a partir da base é V = π r h 2 - 1 3 h 3 , como será mostrado no Capítulo 6.]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que calculemos a taxa (em c m / m i n ) na qual a água está aumentando na pia quando estiver cheia até a metade.

Como dado, o enunciado nos diz que a pia tem formato hemisférico com 60 c m de diâmetro e a torneira tem vazão de 2 L / m i n .

Além disso, de acordo com o enunciado, temos:

V = π r h 2 - 1 3 h 3

Onde V é o volume da porção de uma esfera, r é o raio e h é a altura.

Como queremos descobrir uma taxa, a gente pode começar derivando a expressão que nos foi dada em relação ao tempo.

Quer descobrir como??? Bora junto que eu te mostro!! 😉

Passo 2

Derivando a expressão do volume V em relação ao tempo, temos:

d V d t = π 2 r h d h d t - h 2 d h d t  

Portanto,

d h d t = 1 π ( 2 r h - h 2 ) d V d t

Sabendo que r = 30   c m (já que o diâmetro é de 60   c m ), temos:

d h d t = 1 π ( 60 h - h 2 ) d V d t

Passo 3

A taxa com que o volume varia no tempo é dada por 2   L / m i n .

Assim, convertendo litro para c m 3 , temos:

d V d t = 2 L m i n ∙ 1000 c m 3 L ∴

d V d t = 2000 c m 3 m i n

Substituindo na expressão encontrada no passo 2 temos:

d h d t = 2000 π ( 60 h - h 2 )

Passo 4

O volume do hemisfério todo é:

V t = 2 3 π r 3 ∴

V t = 2 3 π 30 3 ∴

V t = 18000 π   c m 3

Sabemos que h é a altura quando a pia está cheia pela metade, logo

V t 2 = π r h 2 - 1 3 h 3 ∴

9000 = 30 h 2 - 1 3 h 3

Passo 5

Com o auxílio de um software, essa equação de terceiro grau tem como soluções:

h 1 ≈ - 16   c m

h 2 ≈ 19,6   c m

h 3 ≈ 86   c m

A primeira solução é negativa, e a terceira é maior do que o maior valor de h permitido, logo

h ≈ 19,6   c m

Substituindo esse valor na expressão encontrada no passo 3 temos:

d h d t = 2000 π 60 ∙ 19,6 - 19,6 2 ∴

d h d t ≈ 0,804 c m m i n

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

A taxa aproximada na qual a água está aumentando na pia quando estiver cheia até a metade é de 0,804   c m m i n .

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