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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 10

Suponha 4 x 2 + 9 y 2 = 36 , onde x e y são funções de t.

(a) Se d y / d t = 1 3 , encontre d x / d t quando x = 2 e y = 2 3 5 .

(b) Se d x / d t = 3 , encontre d y / d t quando x = - 2 e y = 2 3 5 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte expressão:

4 x 2 + 9 y 2 = 36

onde x e y são funções de t .

Queremos descobrir o seguinte:

(a) Se d y / d t = 1 3 , encontre d x / d t quando x = 2 e y = 2 3 5 .

(b) Se d x / d t = 3 , encontre d y / d t quando x = - 2 e y = 2 3 5 .

Para isso, temos que arranjar alguma forma de colocar uma derivada em relação a t nessa equação aí.

Uma forma de fazermos isso é pela regra da cadeia!!

Essa regrinha diz que a gente pode derivar uma função y da seguinte forma:

d y d x = d y d u * d u d x

E aí?? Bora aplicar?? 😉

Passo 2

Temos que x e y são funções de t, logo suas derivadas são:

x ' ( t ) = d x d t

y ' t =   d y d t

Derivando 4 x 2 + 9 y 2 = 36 com relação ao tempo com ajuda da regra da cadeia, temos:

8 x d x d t + 18 y d y d t = 0

Dividindo ambos os lados por 2:

4 x d x d t + 9 y d y d t = 0

Passo 3

a) Sendo x = 2 ; y = 2 3 5 e d y d t = 1 3 então d x d t é:

4 ∙ 2 d x d t + 9 ∙ 2 3 5 ∙ 1 3 = 0 ∴

8 d x d t = - 2 5

Isolando d x d t :

d x d t = - 2 5 8 ∴

d x d t = - 5 4

Passo 4

b) Sendo x = - 2 ; y = 2 3 5 e d x d t = 3 então d y d t é:

4 ∙ - 2 ∙ 3 + 9 ∙ 2 3 5 ∙ d y d t = 0 ∴

6 5 ∙ d y d t = 24

Isolando d y d t :

d y d t = 24 6 5 ∴

d y d t = 4 5 ∙ 5 5 ∴

d y d t = 4 5 5

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

a) d x d t = - 5 4

b) d y d t = 4 5 5

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