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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 24

Uma partícula move-se ao longo da curva y = 2   s e n   ( π x / 2 ) . Quando a partícula passa pelo ponto ( 1 3 , 1 ) , sua coordenada x cresce a uma taxa de 10   c m / s . Quão rápido a distância da partícula à sua origem está variando nesse momento?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma partícula está se movendo ao longo da curva dada pela seguinte expressão:

y = 2   s e n   π x 2

Além disso, quando a partícula passa pelo ponto ( 1 3 , 1 ) , sua coordenada x cresce a uma taxa de 10   c m / s .

Queremos saber o quão rápido a distância da partícula à sua origem está variando nesse momento.

Vamos pensar um pouquinho... queremos uma velocidade e temos uma equação que descreve um espaço percorrido... Lembrou de alguma coisa??

A gente sabe que a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo né!!

Pois essa é a chave para resolvermos essa questão!!

Vamos aplicar?? 😉

Passo 2

Bom... através de Pitágoras, a distância z da partícula em um ponto ( x , y ) à origem á dada por:

z = x 2 + y 2

Como na curva em questão é y = 2   s e n   ( π x / 2 ) então, a distância é:

z = x 2 + [ 2 sen ⁡   ( π x / 2 ) ] ²

Ou

z 2 = x 2 + [ 2 sen ⁡   ( π x / 2 ) ] ²

Passo 3

Derivando implicitamente em função do tempo t , temos:

2 z d z d t = 2 x d x d t + 4 ∙ 2 sen ⁡   π 2 x cos ⁡   π 2 x ∙ π 2 d x d t

Simplificando a expressão, obtemos:

z d z d t = x d x d t + 2 π sen ⁡   π 2 x cos ⁡   π 2 x d x d t

Passo 4

Sendo x = 1 3 , y = 1 e d x d t = 10 , e z = ( 1 / 3 ) 2 + ( 1 ) 2 = 10 3 , vamos ter:

z d z d t = x d x d t + 2 π sen ⁡   π 2 x cos ⁡   π 2 x d x d t

10 3 d z d t = 1 3 10 + 2 π sen ⁡   π 2 1 3 cos ⁡   π 2 1 3 10

10 3 × d z d t = 10 3 + 2 π 1 2 3 2 10

Isolando d z d t no lado esquerda, vamos ficar com:

d z d t = 1 + 3 3 π 2   c m / s

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

A velocidade que a partícula está variando da origem em relação ao ponto ( 1 3 , 1 ) é:

d z d t = 1 + 3 3 π 2   c m / s

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