Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 15

15 – (d x)/(d t) = ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x + ([[-,1],[5]])

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x + ([[-,1],[5]]) ... ... . ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x^0 + u

Passo 2

O ponto crítico x^0 é tal que ((d x)/(d t))_x = x^0 = 0

([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x + ([[-,1],[5]]) = 0

([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x^0 = - ([[-,1],[5]])

([[-,1,-,1],[2,-,1]])^(- 1) ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) x^0 = - ([[-,1,-,1],[2,-,1]])^(- 1) ([[-,1],[5]])

I x^0 = ([[-,1,-,1],[2,-,1]])^(- 1) ([[1],[-,5]])

x^0 = (1)/(3) ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) ([[1],[-,5]])

([[x_0],[y_0]]) = (1)/(3) ([[-,6],[3]])

= ([[-,2],[1]])

Portanto, o ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( - 2 , 1 ) .

Passo 3

Deixei  x = x^0 + u

Então  (d x)/(d t) = (d u)/(d t) desde que (d x^0)/(d t) = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

(d u)/(d t) = ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) ([[-,2],[1]]) + ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u + ([[-,1],[5]])

= ([[1],[-,5]]) + ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u + ([[-,1],[5]])

= - ([[-,1],[5]]) + ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u + ([[-,1],[5]])

= ([[-,1,-,1],[2,-,1]]) u ... ... . ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = xi e^(r t) .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

([[-,2,-,r,1],[1,-,2,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

|[[-,1,-,r,-,1],[2,-,1,-,r]]| = 0

r^2 + 2 r + 3 = 0

r_1 , 2 = - 1 +- sqrt(2 i)

Então os autovalores são r_1,2 = - 1 +- sqrt(2 i) .

Como os autovalores são complexos com parte real negativa, vemos que o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Resposta

O ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( - 2,1 ) .

Como os autovalores são complexos com parte real negativa, vemos que o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano. x y ' ' ' - y ' ' = 0 ; 1 , x , x 3
Seja L o operador diferencial linear definido por L y = a 0 y n + a 1 y n - 1 + … + a n y , Em que a 0 ,a 1 , … ,a n são constantes reais.(a) Encontre L [ t n ] .(b) Encontre L [ e r t ] .(c) Determin
(a) Mostre que as funções f t = t 2 t e g t = t 3 são linearmente dependentes em 0t1 e em - 1t0 .(b) Mostre que f ( t ) e g ( t ) são linearmente independentes em - 1t1 .(c) Mostre que W ( f , g ) ( t
Verifique que o operador diferencial definido por L y = y n + p 1 t y n - 1 + … + p n t y É um operador diferencial linear. Ou seja, mostre que L c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 L y 1 + c 2 L y 2 , Em que y 1
Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano. x 3 y ' ' ' + x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0 ; x , x 2 , 1 / x