Enunciado

Uma bola é atirada no ar com velocidade de 10 m/s. Sua altura em metros após t segundos é dada por

y = 10 t - 4,9 t 2

Encontre a velocidade média para um período de tempo que começa quando t = 1,5 e dura

0,5 s

0,1 s

0,05 s

0,01 s

Estime a velocidade instantânea quando t = 1,5 .

Passo 1

O enunciado nos fornece uma função y ( t ) que descreve a altura de uma bola em metros, em relação ao tempo t em segundos, quando ela é lançada para cima. A função é dada por:

y = 10 t - 4,9 t 2

Isso significa que a altura da bola no tempo t segundos é dada pela equação acima, onde y ( t ) é a altura da bola em metros.

Agora, o problema nos pede para calcular a velocidade média da bola em diferentes intervalos de tempo após o lançamento, e também estimar a velocidade instantânea em um tempo específico. Vamos resolver os problemas conforme solicitado:

Velocidade Média durante Intervalos de Tempo

Para calcular a velocidade média durante um intervalo de tempo, usaremos a fórmula:

v m e d = ∆ S ∆ t

Certo? Como y é a função da posição no tempo e ∆ t vai ser o tempo de duração do período que começa em 1,5 e vai até o periodo que queremos estudar.

v m e d = f 1,5 + h - f 1,5 h

Onde ∆ t = h será o tempo de duração do período de tempo, ok??

Passo 2

Calculando f ( 1,5 ) , só vamos substituir t por 1,5 em y :

f 1,5 = 10 1,5 - 4,9 1,5 2

Fazendo as contas:

f 1,5 = 3,975

Agora,

f ( 1,5 + h ) :

f 1,5 + h = 10 1,5 + h - 4,9 1,5 + h 2

Vamos abrir esse produto notável e fazer a multiplicação:

f 1,5 + h = 15 + 10 h - 4,9 2,25 + 3 h + h 2

f 1,5 + h = 15 + 10 h - 11,025 - 14,7 h - 4,9 h 2

Beleza?? Agora, vamos substituir esses dois valores que encontramos na fórmula de v m e d :

v m e d = 15 + 10 h - 11,025 - 14,7 h - 4,9 h 2 - 3,975 h

Fazendo as continhas:

v m e d = - 4,7 h - 4,9 h 2 h = - 4,7 - 4,9 h

Agora, basta substituirmos os valores de h dados no enunciado

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,5 = - 7,15   m / s

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,1 = - 5,19   m / s

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,05 = - 4,945   m / s

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,01 = - 4,749   m / s

Passo 3

Para vermos a velocidade instantânea, basta tiramos o limite da velocidade média quando h → 0

lim h → 0 ⁡ - 4,7 - 4,9 h = - 4,7   m / s

v i n s t a n t a n e a = - 4,7   m / s

Resposta

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,5 = - 7,15   m / s

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,1 = - 5,19   m / s

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,05 = - 4,945   m / s

v m e d = - 4,7 - 4,9 ⋅ 0,01 = - 4,749   m / s

v i n s t a n t a n e a = - 4,7   m / s

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Seja f x = x 3 + x 2 - 5 x .Estude o sinal de f ' x .Calcule lim x → + ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f .
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(sec x)/(3 x + 2)
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual ax sen x
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(x^3 + sqrt(x)) co s sec x