Enunciado

Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Antes de tudo, você deve ir ao Exemplo 1 e entende-lo para que possa dar prosseguimento a atividade.

Nessa questão devemos traçar o gráfico de f ' , ou seja, da derivada de f , a partir do gráfico de f que é esse aqui:

Primeiro, quando f tiver uma tangente que seja horizontal, vamos ter uma intercessão no eixo x no gráfico de f ' . Nesse caso,não temos nenhuma tangente horizontal em f , portanto f ' não irá interceptar o eixo x .

Agora vamos procurar por qualquer pontas no gráfico de f , se tiver, haverá uma descontinuidade no gráfico de f ' , aqui temos uma quina ali em x = 0 .

Passo 2

Em qualquer intervalo em que f tenha uma tangente com inclinação positiva, o gráfico de f ' será positivo, e com inclinação negativa, o gráfico de f ' será negativo, e se o gráfico da função for linear, o gráfico de f ' será uma linha horizontal.

Vemos que aqui, da esquerda para a direita, o gráfico de f tem inclinação negativa no segundo quadrante e inclinação positiva no primeiro quadrante.

O gráfico da derivada está ali embaixo da resolução. A ideia aqui é que vc leia osmotivos que me fizeram traçar um gráfico com aquela forma e entenda o por quê. No meu gráfico eu tracei os valores de m que são as inclinações das retas tangentes e portanto os valores da derivada em cada ponto.

Podemos reparar que a medida que x cresce e se aproxima de 0 pela esquerda, a inclinação negativa se torna cada vez mais íngreme o que indica que a derivada será negativa com valor absoluto cada vez maior, tendendo ao infinito negativo quando chegar próximo a quina em x = 0 .

E também reparamos que para x maior que 0 , no primeiro quadrante, a inclinação é positiva e aumenta a medida que x tende a zero pela direita. Dessa forma, a derivada é positiva e aumenta seu valor cada vez mais ao se aproximar de zero, tendendo ao infinito positivo quando chega próximo a quina em x = 0 .

Por fim, nas extremidades do gráfico de f x , vemos que a inclinação se torna quase que constante, pois a função se aproxima a uma reta a medida que x tende a menos infinito e mais infinito. Dessa forma, a sua derivada será uma reta horizontal positiva para x tendendo a infinito positivo e uma reta horizontal negativa para x tendendo a infinito negativo.

Resposta

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Calcule f^' (x) .f (x) = x^2 e^x
Calcule f^' (x) .f (x) = e^x cos x
Calcule f^' (x) .f (x) = (x + 1)/(x ln x)
Calcule F^' (x) sendo F (x) igual ax^2 (cos x) (1 + ln x)
Calcule f^' (x) .f (x) = 3 x + 5 ln x