Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 8
Se uma bola for atirada verticalmente para cima com uma velocidade , então, sua altura depois de segundos é
- Qual a altura máxima atingida pela bola?
- Qual a velocidade da bola quando estiver acima do solo na subida? E na descida?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema temos uma função que representa a altura de uma bola em função do tempo
A partir daí queremos a altura máxima da bola e a velocidade quando ela estiver a de altura subindo e descendo.
Parece complicado?
Podemos calcular o máximo da altura da seguinte forma: Sabemos que no ponto onde a velocidade for zero, a bola estará parada, ela estará parada (instantaneamente) em dois momentos, o primeiro é antes de ser lançada e o segundo é quando ela chegar no máximo, pois ela chega no ponto máximo, para e a partir daí começa a descer.
Temos que lembrar que a velocidade é a variação de espaço pelo tempo
Mas variação de algo pode ser escrito infinitesimalmente como
Ou seja, a velocidade é a derivada da posição.
A partir daí podemos responder tudo que a questão pede.
Bora lá!
Passo 2
Vamos derivar pela regra da potência já que é uma função polinomial
No ponto máximo, , ou seja
Agora que sabemos quando esse momento acontece, podemos substituir em para saber a altura máxima.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos usar a função para descobrir as velocidade em .
Primeiro, iremos encontrar em quais instantes a bola atinge esta altura. Para isso, basta substituirmos por . Então
Calculando as raízes pela fórmula de Baskara, temos que
Show?
Passo 4
Agora que sabemos que o tempo para atingir aquela altura na subida foi podemos calcular a velocidade. Basta substituir o valor de na expressão de .
Para , temos
Note que , isso porque indiferente que seja na descida ou na subida, a bola terá sempre a mesma velocidade em módulo em uma altura específica.
E aí! o que achou? Responde Aí!