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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 1

1 - (d x)/(d t) = ([[3,-,2],[2,-,2]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[3,-,2],[2,-,2]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[3,-,2],[2,-,2]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[3,-,2],[2,-,2]]) (xi e^(r t))

= ([[3,-,r,-,2],[2,-,2,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os autovalores são as raízes da equação.

|[[3,-,r,-,2],[2,-,2,-,r]]| = 0

r^2 - r - 2 = 0

(r + 1) (r - 2) = 0

Portanto, os autovalores de ([[3,-,2],[2,-,2]]) são r_1 = - 1 e r_2 = 2 .

Passo 3

Encontre o autovetor  ([[3,-,2],[2,-,2]]) correspondente ao autovalor r_1 = - 1 .

Substitua  r = - 1 na equação ( 2 ) ,

= ([[3,-,(,-,1,),-,2],[2,-,2,-,(,-,1,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[4,-,2],[2,-,1]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

2 xi_1 = xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 é: xi^1 = ([[1],[2]])

Passo 4

Encontre o autovetor  ([[3,-,2],[2,-,2]]) correspondente ao autovalor r_2 = 2 .

Substitua  r = 2 na equação ( 2 ) ,

= ([[3,-,(,2,),-,2],[2,-,2,-,(,2,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[1,-,2],[2,-,4]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_1 = 2 xi_2

O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = 2 é: xi^2 = ([[2],[1]])

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são reais e de sinais opostos.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Como os pontos de sela são sempre instáveis, o ponto crítico é um ponto de sela instável.

Passo 6

c)

A solução do sistema ( 1 ) é:

x = c_1 ([[1],[2]]) e^(- t) + c_2 ([[2],[1]]) e^(2 t)

x = ([[c_1,e^(- t),2,c_2,e^(2 t)],[2,c_1,e^(- t),c_2,e^(2 t)]])

então  x_1 (t) = c_1 e^(- t) + 2 c_2 e^(2 t) e x_2 (t) = 2 c_1 e^(- t) + c_2 e^(2 t) .

Esboce as trajetórias no plano de fase.

Passo 7

Observe a solução  x_1 (t) = c_1 e^(- t) + 2 c_2 e^(2 t) para diferentes valores de c_1 e c_2 .

Para  c_1 = 1 , c_2 = 0 ,

x_1 (t) = e^(- t)

Para  c_1 = 0 , c_2 = 1 ,

x_1 (t) = 2 e^(2 t)

Para  c_1 = 1 , c_2 = - 1 ,

x_1 (t) = 2 e^(2 t)

Para  c_1 = 1 , c_2 = - 1 ,

x_1 (t) = e^(- t) + 2 e^(2 t)

Esboce toda a solução no plano x , t :

Resposta

  1. Os autovalores de ([[3,-,2],[2,-,2]]) são r_1 = - 1 e r_2 = 2 .

    2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 é: xi^1 = ([[1],[2]])

  2. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela e instável.
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