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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 14

14 - (d x)/(d t) = ( 2 - x ) ( y - x ) , (d y)/(d t) = y ( 2 - x - x^2 )

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = ( 2 - x ) ( y - x ) e (d y)/(d t) = y ( 2 - x - x^2 )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.

Agora, para os pontos críticos,

(2 - x) (y - x) = 0 ... ... . ( 1 )

E,

y ( 2 - x - x^2 ) = 0 ... ... . ( 2 )

Agora a equação ( 1 ) implica que,

Com y = 0 , temos x = 0 ou x = 2 .

Com x = - 2 , temos a equação como 4 (y + 2) = 0 que pode ser resolvida se y = - 2

Com x = 1 , temos a equação como (y - 1) = 0 que nos fornece y = 1 .

E a equação ( 2 ) implica que,

Caso x = - 2 ou x = 1 , temos y = 0 .

Assim, temos quatro pontos críticos, que são:

(0,0) , (2,0) , (- 2 , - 2) , ( 1,1 )

Passo 2

b) Em seguida, queremos traçar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.

Este é o retrato da fase:

Passo 3

c)

Para os pontos críticos, ( 2,0 ) e ( 0,0 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.

Para os pontos críticos,  (1,1) e ( - 2 , - 2 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

Passo 4

d) A bacia de atração é definida como o conjunto de todos os pontos que se aproximam de um determinado ponto crítico. É definida como a região entre as separatrizes de um ponto crítico.

A bacia de atração para ( - 2 , - 2 ) é a região sombreada em laranja do quadrante inferior esquerdo e a bacia de atração para ( 1,1 ) é a região sombreada em verde do quadrante superior esquerdo.

O gráfico da bacia de atração descrito acima é mostrado aqui:

Portanto, a bacia de atração do ponto ( 1,1 ) é definido pelas linhas x < 2 e y > 0 .

A bacia de atração do ponto ( - 2 , - 2 ) é definido pelas linhas x < 2 e y < 0 .

Resposta

  1. Os pontos críticos são (0,0) , (2,0) , (- 2 , - 2) , ( 1,1 )

  2. O campo de direção é mostrado abaixo:

    3. Este é o retrato de fase:

  3. Para os pontos críticos, ( 2,0 ) e ( 0,0 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.

    4. Para os pontos críticos,  (1,1) e ( - 2 , - 2 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

  4. Portanto, a bacia de atração do ponto ( 1,1 ) é definido pelas linhas x < 2 e y > 0 .

A bacia de atração do ponto ( - 2 , - 2 ) é definido pelas linhas x < 2 e y < 0 .

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