Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 14
14 -
Passo 1
As equações dadas são:
O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.
Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:
O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.
Agora, para os pontos críticos,
E,
Agora a equação implica que,
Com temos ou .
Com , temos a equação como que pode ser resolvida se
Com , temos a equação como que nos fornece .
E a equação implica que,
Caso ou , temos .
Assim, temos quatro pontos críticos, que são:
Passo 2
b) Em seguida, queremos traçar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.
Este é o retrato da fase:
Passo 3
c)
Para os pontos críticos, e todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.
Para os pontos críticos, e é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.
Passo 4
d) A bacia de atração é definida como o conjunto de todos os pontos que se aproximam de um determinado ponto crítico. É definida como a região entre as separatrizes de um ponto crítico.
A bacia de atração para é a região sombreada em laranja do quadrante inferior esquerdo e a bacia de atração para é a região sombreada em verde do quadrante superior esquerdo.
O gráfico da bacia de atração descrito acima é mostrado aqui:
Portanto, a bacia de atração do ponto é definido pelas linhas e .
A bacia de atração do ponto é definido pelas linhas e .
Resposta
- Os pontos críticos são
- O campo de direção é mostrado abaixo:
- Para os pontos críticos, e todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.
- Portanto, a bacia de atração do ponto é definido pelas linhas e .
Este é o retrato de fase:
Para os pontos críticos, e é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.
A bacia de atração do ponto é definido pelas linhas e .