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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 70

Um buraco de raio r é perfurado pelo centro de uma esfera de raio R > r . Encontre o volume da porção remanescente da esfera.

Passo 1

Opa, bora lá! Temos uma esfera de raio R e dentro dele foi feito um buraco de raio r . Queremos saber qual o volume da esfera que “sobrou”!

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Vemos pela figura que a reta y = r intercepta a semicircunferência y = R 2 - x 2 quando r = R 2 - x 2 → r 2 = R 2 - x 2 → x = ± R 2 - x 2 . Vamos obter o volume rotacionando a região sobre o eixo x , vamos achar a área então:

A x = π R 2 - x 2 2 - r 2

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A x d x = ∫ - R 2 - x 2 R 2 - x 2 π R 2 - x 2 2 - r 2 d x = 2 π ∫ 0 R 2 - x 2 R 2 - x 2 - r 2 d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ R 2 - x 2 - r 2 d x = R 2 x - x 3 3 - r 2 x + C = R 2 - r 2 x - x 3 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = 2 π ∫ 0 R 2 - x 2 R 2 - x 2 - r 2 d x = 2 π R 2 - r 2 x - x 3 3 0 R 2 - x 2

V = 2 π R 2 - r 2 R 2 - x 2 - R 2 - x 2 3 3 - R 2 - r 2 . 0 - 0 3 3

V = 2 π R 2 - r 2 3 2 - 1 3 R 2 - r 2 3 2 = 4 π 3 R 2 - r 2 3 2

Prontinho!

Resposta

V = 4 π 3 R 2 - r 2 3 2

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