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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 4c

Para cada aproximação inicial, determine graficamente o que acontecerá se for usado o método de Newton para a função cujo gráfico é dado.

c) x 1 = 3

Passo 1

Fala aí, tudo bem com você?

Bom, essa quest��o dá pra gente o seguinte gráfico:

E pede pra gente determinar graficamente o que acontecerá se for usado o método de Newton para essa função.

Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta L tangente à curva da função no ponto x 1 ,   f x 1 . com

Depois devemos procurar a interseção de L como o eixo x , que será chamada de x 2 e verificar o quão próximo x 2 está da interseção da curva com o eixo x .

Para encontrar x 2 , podemos fazer:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

Depois, repetimos o processo, usando x 2 como uma segunda aproximação, fazendo:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

E se x n ficar cada vez mais próxima da raiz r de nossa curva à medida que n cresce, fazemos com que a sequência vá para r .

Assim:

lim n → ∞ ⁡ x n = r

Show. Então pegaremos essa ideia e aplicaremos graficamente para ver se o método nos levará para a raiz. Vem ver isso acontecendo.

Passo 2

Para a letra c, onde x 1 = 3 , traçaremos a reta tangente ao gráfico da função dada. Assim:

Então o x 2 = 1 e traçando a nova tangente, teremos:

Para x 2 = 1 :

Neste caso a reta tangente é horizontal e não conseguimos achar o ponto x 3 para dar continuidade ao método de Newton.

Em casos assim, nunca iremos nos aproximar da raiz da função, então dizemos que o método de Newton falha.

Resposta

Para x 1 = 3 o método de Newton falha, pois a reta tangente ao gráfico para x 2 é horizontal.

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