A equação de Bessel de ordem um é

(a) Mostre que é um ponto singular regular.

(b) Mostre que as raízes da equação indicial são e

(c) Mostre que uma solução para

(d) Mostre que a série converge para para todo . A função é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem um.

(e) Mostre que é impossível determinar uma segunda solução da forma

(b) Agora assumimos que a solução é dada na forma:

A primeira derivada:

A segunda derivada é:

Se a nossa EDO está na forma:

Ao multiplicar os fatores pelos somatórios correspondentes, obtemos:

Agora ajustamos o índice dos dois primeiros somatórios para que neles expoente :

Avaliamos alguns termos para que todos os somatórios iniciem no índice e obtenham:

Combinando os termos, temos:

Ou seja, depois de simplificar:

Igualando os coeficientes de ambos os lados, obtemos:

Desde que , nós obtemos a equação:

Onde as duas raízes são nulas, ou seja:

Se:

(c ) A relação de recorrência para pode ser escrita como:

Teremos:

Portanto, escolhendo , a solução é igual a:

(d) Vamos usar o teste de proporção para verificar se a série para converge para todos os :

Portanto, a série converge para todos os .

(e) A relação de recorrência para é:

Vemos que não é possível determinar , portanto, não é possível determinar uma segunda solução na forma desejada.