Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 16
A equação de Bessel de ordem um é
(a) Mostre que é um ponto singular regular.
(b) Mostre que as raízes da equação indicial são e
(c) Mostre que uma solução para
(d) Mostre que a série converge para para todo . A função é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem um.
(e) Mostre que é impossível determinar uma segunda solução da forma
Passo 1
(a) A partir da equação dada, temos e . Os pontos singulares ocorrem quando , portanto, o ponto singular da equação dada é:
Para descobrir se é um ponto singular regular, verificamos se os seguintes limites são finitos:
Portanto, é um ponto singular regular.
Passo 2
(b) Agora assumimos que a solução é dada na forma:
A primeira derivada:
A segunda derivada é:
Se a nossa EDO está na forma:
Ao multiplicar os fatores pelos somatórios correspondentes, obtemos:
Agora ajustamos o índice dos dois primeiros somatórios para que neles expoente :
Passo 3
Avaliamos alguns termos para que todos os somatórios iniciem no índice e obtenham:
Combinando os termos, temos:
Ou seja, depois de simplificar:
Igualando os coeficientes de ambos os lados, obtemos:
Desde que , nós obtemos a equação:
Onde as duas raízes são nulas, ou seja:
Se:
Passo 4
(c ) A relação de recorrência para pode ser escrita como:
Teremos:
Portanto, escolhendo , a solução é igual a:
Passo 5
(d) Vamos usar o teste de proporção para verificar se a série para converge para todos os :
Portanto, a série converge para todos os .
Passo 6
(e) A relação de recorrência para é:
Vemos que não é possível determinar , portanto, não é possível determinar uma segunda solução na forma desejada.
Resposta
(a) é um ponto regular.
(b)
(c)
(d) A série converge para todo .
(e) Não é possível determinar .