Enunciado

Mostre que Δ = πγ/mμ. Como m, μ e Δ são quantidades facilmente mensuráveis em um sistema mecânico, esse resultado fornece um método conveniente e prático para determinar a constante de amortecimento do sistema, que é mais difícil de medir diretamente. Em particular, para o movimento de uma massa vibrando em um fluido viscoso, a constante de amortecimento depende da viscosidade do fluido; para formas geométricas simples, a forma dessa dependência é conhecida e a relação precedente permite a determinação da viscosidade experimentalmente. Essa é uma das maneiras mais precisas de determinar a viscosidade de um gás a altas pressões..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

u n = R e - γ t n 2 m

A amplitude do sistema é dada por:

m u ' ' + γ u ' + k u = 0

γ 2 - 4 k m < 0

cos ⁡ μ t - δ = 1

t n = 2 π n + δ μ

T d = t n + 1 - t n

T d = 2 π μ

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

u n u n + 1 = exp ⁡ γ T d 2 m

ln ⁡ u n u n + 1 = ln ⁡ exp ⁡ γ T d 2 m

Δ = γ T d 2 m

Δ = π γ m μ  

Resposta

Δ = π γ m μ  

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