Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 10
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a ambas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como
Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que
Para resolver a questão devemos primeiro encontrar a função da restrição para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos .
Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.
Passo 2
A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível
Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma
Passo 3
Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Realizando o mesmo procedimento para a função
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Passo 4
Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver
Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores
Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações
Como as variáveis estão sujeitas a uma restrição , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações
Passo 5
Isolando o no sistema obtemos
Separando as equações é mais fácil de resolver
Substituindo na última equação do sistema
E a partir disso temos . O que nos dá como pontos críticos
Passo 6
Encontrados os pontos críticos, os substituiremos na função para determinar se estes são pontos de máximo ou de mínimo
Considerando uma das variáveis como sendo nula, temos a partir da restrição
De modo que o valor de para esse caso seria
Considerando duas variáveis sendo nulas, temos pela restrição
De modo que o valor de para esse caso seria
Então, o valor mínimo da função nessa restrição é e o valor máximo é