Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f(x, y, z) = ln(x^2 + 1) + ln(y^2 + 1) + ln(z^2 + 1), x^2 + y^2 + z^2 = 12

Passo 1

Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a ambas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como

∇ f x , y , z = ∂ f x , y , z ∂ x , ∂ f x , y , z ∂ y , ∂ f x , y , z ∂ z

Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que

∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z )

Para resolver a questão devemos primeiro encontrar a função g ( x , y , z ) da restrição para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos ( x o , y o , z o ) .

Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.

Passo 2

A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível

x 2 + y 2 + z 2 = 12

Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma

g x , y = 0 = x 2 + y 2 - 12

Passo 3

Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente

∂ f x , y , z ∂ x = f x = ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ y 2 + 1 + ln ⁡ ( z 2 + 1 ) = 2 x x 2 + 1

∂ f x , y , z ∂ y = f y = ∂ ∂ y ln ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ y 2 + 1 + ln ⁡ ( z 2 + 1 ) = 2 y y 2 + 1

∂ f x , y , z ∂ z = f z = ∂ ∂ z ln ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ y 2 + 1 + ln ⁡ ( z 2 + 1 ) = 2 z z 2 + 1

Portanto, o vetor gradiente para f ( x , y , z ) é dado por

∇ f x , y , z = 2 x x 2 + 1 , 2 y y 2 + 1 , 2 z z 2 + 1

Realizando o mesmo procedimento para a função g ( x , y , z )

∂ g x , y , z ∂ x = g x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 12 = 2 x

∂ g x , y , z ∂ y = g y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 - 12 = 2 y

∂ g x , y , z ∂ y = g z = ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 - 12 = 2 z

Portanto, o vetor gradiente para g ( x , y ) é dado por

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 4

Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver

∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z )

Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores

2 x x 2 + 1 , 2 y y 2 + 1 , 2 z z 2 + 1 = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações

2 x x 2 + 1 = 2 λ x 2 y y 2 + 1 = 2 λ y 2 z z 2 + 1 = 2 λ z

Como as variáveis estão sujeitas a uma restrição g ( x , y , z ) , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações

2 x x 2 + 1 = 2 λ x 2 y y 2 + 1 = 2 λ y 2 z z 2 + 1 = 2 λ z x 2 + y 2 = 12

Passo 5

Isolando o λ no sistema obtemos

λ = 1 x 2 + 1 = 1 y 2 + 1 = 1 z 2 + 1

Separando as equações é mais fácil de resolver

1 x 2 + 1 = 1 y 2 + 1 → x 2 = y 2

1 y 2 + 1 = 1 z 2 + 1 → y 2 = z 2

Substituindo na última equação do sistema

y 2 + y 2 + y 2 = 12

3 y 2 = 12

y 2 = 4

x = ± 2

E a partir disso temos x = ± 2   ,   z =   ± 2 . O que nos dá como pontos críticos

( ± 2 , ± 2 , ± 2 )

Passo 6

Encontrados os pontos críticos, os substituiremos na função f ( x , y , z ) para determinar se estes são pontos de máximo ou de mínimo

f ± 2 , ± 2 , ± 2 = 3 ln ⁡ 5

Considerando uma das variáveis como sendo nula, temos a partir da restrição

y 2 + y 2 = 12  

y 2 = 6

y = ± 6

De modo que o valor de f ( x , y , z ) para esse caso seria

f ± 6 , ± 6 , 0 = 3 ln ⁡ 7

Considerando duas variáveis sendo nulas, temos pela restrição

y 2 = 12

y = ± 12

De modo que o valor de f ( x , y , z ) para esse caso seria

f ± 12 , 0,0 = 3 ln ⁡ 3

Então, o valor mínimo da função nessa restrição é 3 ln ⁡ 5   e o valor máximo é 3 ln ⁡ 13

Resposta

3 ln ⁡ 5   e   3 ln ⁡ 13

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