Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x y 2 z ,     x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a ambas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como

∇ f x , y , z = ∂ f x , y , z ∂ x , ∂ f x , y , z ∂ y , ∂ f x , y , z ∂ z

Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que

∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z )

Para resolver a questão devemos primeiro encontrar a função g ( x , y , z ) da restrição para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos ( x o , y o , z o ) .

Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.

Passo 2

A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma

g x , y = 0 = x 2 + y 2 - 4

Passo 3

Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente

∂ f x , y , z ∂ x = f x = ∂ ∂ x x y 2 z = y 2 z

∂ f x , y , z ∂ y = f y = ∂ ∂ y x y 2 z = 2 x y z

∂ f x , y , z ∂ z = f z = ∂ ∂ z x y 2 z = x y 2

Portanto, o vetor gradiente para f ( x , y , z ) é dado por

∇ f x , y , z = y 2 , 2 x y z , x y 2

Realizando o mesmo procedimento para a função g ( x , y , z )

∂ g x , y , z ∂ x = g x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 2 x

∂ g x , y , z ∂ y = g y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 2 y

∂ g x , y , z ∂ y = g z = ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 2 z

Portanto, o vetor gradiente para g ( x , y ) é dado por

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 4

Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver

∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z )

Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores

y 2 , 2 x y z , x y 2 = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações

y 2 = 2 λ x 2 x y z = 2 λ y x y 2 = 2 λ z

Como as variáveis estão sujeitas a uma restrição g ( x , y , z ) , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações

y 2 = 2 λ x 2 x y z = 2 λ y x y 2 = 2 λ z x 2 + y 2 = 4

Passo 5

Isolando o λ no sistema obtemos

λ = y 2 z 2 x = 2 x y z 2 y = x y 2 2 z

Separando as equações é mais fácil de resolver

y 2 z 2 x = 2 x y z 2 y → 4 x 2 y z = 2 y 3 z → 2 x 2 = y 2

2 x y z 2 y = x y 2 2 z → 2 x y 3 = 4 x y z 2 → y 2 = 2 z 2 = 2 x 2 → z 2 = x 2

Substituindo na última equação do sistema

x 2 + ( 2 x ) 2 + x 2 = 4

4 x 2 = 4

x 2 = 1

x = ± 1

E a partir disso temos y = ± 2   ,   z =   ± 1 . O que nos dá como pontos críticos

- 1 , - 2 , - 1 ; - 1 , 2 , - 1 ; - 1 , 2 , 1 ; - 1 , - 2 , 1 ;

1 , 2 , 1 ; 1 , - 2 , 1 ; 1 , 2 , - 1 ; 1 , - 2 , - 1

Passo 6

Encontrados os pontos críticos, os substituiremos na função f ( x , y ) para determinar se estes são pontos de máximo ou de mínimo

f - 1 , - 2 , - 1 = f - 1 , 2 , - 1 = 2

f - 1 , 2 , 1 = f - 1 , - 2 , 1 = 2

f 1 , 2 , 1 = f 1 , - 2 , 1 = - 2

f 1 , 2 , - 1 = f 1 , - 2 , - 1 = - 2

Dessa forma, os pontos críticos tais que f x , y , z = 2 são pontos máximos e aqueles que f x , y , z = - 2 são pontos mínimos.

Resposta

- 2   e   2

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